Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3197
2017-04-30 
Имеются два одинаковых идеальных трансформатора с коэффициентом трансформации $K = 1/3$. Первичная обмотка одного из них последовательно соединена со вторичной обмоткой второго, а свободные концы этих обмоток включены в сеть переменного тока с амплитудой напряжения $u_{0} = 100 В$. Вторичная обмотка первого трансформатора последовательно соединена с первичной обмоткой второго. Определить амплитуду переменного напряжения между свободными концами этих обмоток.
Решение:
Пусть в обмотке АВ возникает ЭДС индукции $\mathcal{E}_{1} = - L_{1} i^{ \prime} (t)$, а в обмотке CD - ЭДС индукции $\mathcal{E}_{2} = - L_{2} i^{ \prime}(t)$. Так как обмотки АВ и СD включены последовательно и токи в них одинаковы, то
$\frac{ \mathcal{E}_{1}}{ \mathcal{E}_{2}} = \frac{L_{1}}{L_{2}} = \left ( \frac{N_{1}}{N_{2}} \right )^{2} = k^{2}$.
Здесь мы воспользовались тем, что индуктивность катушки пропорциональна квадрату числа витков в ней. Сумма $\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} = u_{0}$. Получаем систему уравнений
$\begin{cases} \frac{ \mathcal{E}_{1}}{ \mathcal{E}_{2}} = k^{2}, \\ \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} = u_{0}, \end{cases} \begin{cases} \mathcal{E}_{1} = k^{2} \mathcal{E}_{2}, \\ \mathcal{E}_{2} (1 + k^{2}) = u_{0}, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \mathcal{E}_{2} = \frac{u_{0}}{1 + k^{2}}, \\ \mathcal{E}_{1} = \frac{u_{0}k^{2}}{1 + k^{2}}. \end{cases}$
Пусть напряжение, получаемое в обмотке MN, $u_{1} = \phi_{M} - \phi_{N}$. Из свойств трансформатора $\frac{ \mathcal{E}_{1}}{u_{1}} = k \Rightarrow u_{1} = \frac{ \mathcal{E}_{1}}{k}$.
Пусть напряжение, получаемое в обмотке КL, $u_{2} = \phi_{K} - \phi_{L}$. Из определения коэффициента трансформации
$\frac{u_{2}}{ \mathcal{E}_{2}} = k \Rightarrow u_{2} = k \mathcal{E}_{2}$. Итак,
$\begin{cases} \phi_{M} - \phi_{N} = \frac{ \mathcal{E}_{1}}{k}, \\ \phi_{K} - \phi_{L} = k \mathcal{E}_{2}, \end{cases} \Rightarrow ( \phi_{M} - \phi_{L})+( \phi_{K} - \phi_{N}) = \frac{ \mathcal{E}_{1}}{k} + k \mathcal{E}_{2}$.
Учитывая, что $\phi_{K} = \phi_{N}$, а $\phi_{M} - \phi_{L} = u_{x}$ - искомое напряжение, получаем для соединения обмоток (рис. а)
$u_{x} = \frac{1}{k} \cdot \frac{u_{0}k^{2}}{1 + k^{2}} + k \frac{u_{0}}{1 + k^{2}} = \frac{u_{0}k}{1 + k^{2}} + \frac{u_{0}k}{1+k^{2}} = \frac{2k}{1+k^{2}} u_{0} = 60 В$.
Для случая, изображенного на рис. б, после вычитания уравнений системы найдем
$( \phi_{K} - \phi_{M}) + ( \phi_{N} - \phi_{L}) = k \mathcal{E}_{2} - \frac{ \mathcal{E}_{1}}{k}$. Так как $\phi_{K} = \phi_{M}$, а $\phi_{N} - \phi_{L} = u_{x}$, то
$u_{x} = k \frac{u_{0}}{1 + k^{2}} - \frac{1}{k} \cdot \frac{u_{0}k^{2}}{1 + k^{2}} = 0$.
Имеются два одинаковых идеальных трансформатора с коэффициентом трансформации $K = 1/3$. Первичная обмотка одного из них последовательно соединена со вторичной обмоткой второго, а свободные концы этих обмоток включены в сеть переменного тока с амплитудой напряжения $u_{0} = 100 В$. Вторичная обмотка первого трансформатора последовательно соединена с первичной обмоткой второго. Определить амплитуду переменного напряжения между свободными концами этих обмоток.
Решение:
Пусть в обмотке АВ возникает ЭДС индукции $\mathcal{E}_{1} = - L_{1} i^{ \prime} (t)$, а в обмотке CD - ЭДС индукции $\mathcal{E}_{2} = - L_{2} i^{ \prime}(t)$. Так как обмотки АВ и СD включены последовательно и токи в них одинаковы, то
$\frac{ \mathcal{E}_{1}}{ \mathcal{E}_{2}} = \frac{L_{1}}{L_{2}} = \left ( \frac{N_{1}}{N_{2}} \right )^{2} = k^{2}$.
Здесь мы воспользовались тем, что индуктивность катушки пропорциональна квадрату числа витков в ней. Сумма $\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} = u_{0}$. Получаем систему уравнений
$\begin{cases} \frac{ \mathcal{E}_{1}}{ \mathcal{E}_{2}} = k^{2}, \\ \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} = u_{0}, \end{cases} \begin{cases} \mathcal{E}_{1} = k^{2} \mathcal{E}_{2}, \\ \mathcal{E}_{2} (1 + k^{2}) = u_{0}, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \mathcal{E}_{2} = \frac{u_{0}}{1 + k^{2}}, \\ \mathcal{E}_{1} = \frac{u_{0}k^{2}}{1 + k^{2}}. \end{cases}$
Пусть напряжение, получаемое в обмотке MN, $u_{1} = \phi_{M} - \phi_{N}$. Из свойств трансформатора $\frac{ \mathcal{E}_{1}}{u_{1}} = k \Rightarrow u_{1} = \frac{ \mathcal{E}_{1}}{k}$.
Пусть напряжение, получаемое в обмотке КL, $u_{2} = \phi_{K} - \phi_{L}$. Из определения коэффициента трансформации
$\frac{u_{2}}{ \mathcal{E}_{2}} = k \Rightarrow u_{2} = k \mathcal{E}_{2}$. Итак,
$\begin{cases} \phi_{M} - \phi_{N} = \frac{ \mathcal{E}_{1}}{k}, \\ \phi_{K} - \phi_{L} = k \mathcal{E}_{2}, \end{cases} \Rightarrow ( \phi_{M} - \phi_{L})+( \phi_{K} - \phi_{N}) = \frac{ \mathcal{E}_{1}}{k} + k \mathcal{E}_{2}$.
Учитывая, что $\phi_{K} = \phi_{N}$, а $\phi_{M} - \phi_{L} = u_{x}$ - искомое напряжение, получаем для соединения обмоток (рис. а)
$u_{x} = \frac{1}{k} \cdot \frac{u_{0}k^{2}}{1 + k^{2}} + k \frac{u_{0}}{1 + k^{2}} = \frac{u_{0}k}{1 + k^{2}} + \frac{u_{0}k}{1+k^{2}} = \frac{2k}{1+k^{2}} u_{0} = 60 В$.
Для случая, изображенного на рис. б, после вычитания уравнений системы найдем
$( \phi_{K} - \phi_{M}) + ( \phi_{N} - \phi_{L}) = k \mathcal{E}_{2} - \frac{ \mathcal{E}_{1}}{k}$. Так как $\phi_{K} = \phi_{M}$, а $\phi_{N} - \phi_{L} = u_{x}$, то
$u_{x} = k \frac{u_{0}}{1 + k^{2}} - \frac{1}{k} \cdot \frac{u_{0}k^{2}}{1 + k^{2}} = 0$.
