Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3195
2017-04-30 
Участок цепи переменного тока (рис.) состоит из сопротивления $R$, соединенного последовательно с нагревательной спиралью, обладающей некоторой индуктивностью и активным сопротивлением. Действующие значения напряжений на всем участке, сопротивлении и спирали равны соответственно $u_{0}, u$ и $u_{1}$. За сколько времени с помощью этой спирали температуру воды массой $m$ можно повысить на $\Delta T$, если удельная теплоемкость воды - $c$? Потерями теплоты пренебречь
Решение:
На представленном участке цепи $R_{с}$ - сопротивление спирали, $L$ - ее индуктивность, заданы действующие напряжения. Так как соединение последовательное, то во всех элементах этого участка в любой момент времени ток одинаков. Колебания тока опишем вектором $\vec{I}$, модуль которого - $I$. Направим этот вектор вдоль оси X (рис.). Колебания напряжения на сопротивлениях $R_{с}$ и $R$ по фазе совпадают с колебаниями тока, их амплитуды равны $u_{с} = IR_{с}$ и $u = IR$ и на векторной диаграмме также направлены вдоль оси X. Колебания напряжения $\vec{u}_{L}$ на индуктивности опережают колебания тока на $\pi /2$, их амплитуда равна $IX_{L} = I \omega L = u_{L}$, и на векторной диаграмме вектор $\vec{u}_{L}$ направлен вдоль оси Y. Напряжение на спирали $\vec{u}_{1} = \vec{u}_{L} + \vec{u}_{c}$, напряжение во всей цепи $\vec{u}_{0} = \vec{u}_{1} + \vec{u}$ (соответствующие построения приведены на рис.).
По теореме косинусов $u_{0}^{2} = u_{1}^{2} + u^{2} - 2u_{1} u \cos ( \pi - \phi) = u_{1}^{2} + u^{2} + 2u_{1}u \cos \phi$, где $\phi$ - сдвиг фаз между током и напряжением на участке, где включена спираль. Из последнего уравнения $\cos \phi = \frac{u_{0}^{2} - u_{1}^{2} - u^{2}}{2u_{1}u}$. Действующее значение тока $I = \frac{u}{R}$. Мощность, выделяемая на участке со спиралью: $\bar{P} = Iu_{1} \cos \phi = \left ( \frac{u}{R} \right ) u_{1} \frac{u_{0}^{2} - u_{1}^{2} - u^{2}}{2u_{1}u} = \frac{u_{0}^{2} - u_{1}^{2} - u^{2}}{2R}$.
Для нагревания воды на $\Delta T$ ей понадобится сообщить количество теплоты $Q = cm \Delta T = \bar{P} \tau$, где $\tau$ - время работы спирали. После подстановки получаем
$cm \Delta T = \frac{ u_{0}^{2} - u_{1}^{2} - u^{2}}{2R} \tau \Rightarrow \tau = \frac{2cm R \Delta T}{u_{0}^{2} - u_{1}^{2} - u^{2}}$.
Участок цепи переменного тока (рис.) состоит из сопротивления $R$, соединенного последовательно с нагревательной спиралью, обладающей некоторой индуктивностью и активным сопротивлением. Действующие значения напряжений на всем участке, сопротивлении и спирали равны соответственно $u_{0}, u$ и $u_{1}$. За сколько времени с помощью этой спирали температуру воды массой $m$ можно повысить на $\Delta T$, если удельная теплоемкость воды - $c$? Потерями теплоты пренебречь
Решение:
На представленном участке цепи $R_{с}$ - сопротивление спирали, $L$ - ее индуктивность, заданы действующие напряжения. Так как соединение последовательное, то во всех элементах этого участка в любой момент времени ток одинаков. Колебания тока опишем вектором $\vec{I}$, модуль которого - $I$. Направим этот вектор вдоль оси X (рис.). Колебания напряжения на сопротивлениях $R_{с}$ и $R$ по фазе совпадают с колебаниями тока, их амплитуды равны $u_{с} = IR_{с}$ и $u = IR$ и на векторной диаграмме также направлены вдоль оси X. Колебания напряжения $\vec{u}_{L}$ на индуктивности опережают колебания тока на $\pi /2$, их амплитуда равна $IX_{L} = I \omega L = u_{L}$, и на векторной диаграмме вектор $\vec{u}_{L}$ направлен вдоль оси Y. Напряжение на спирали $\vec{u}_{1} = \vec{u}_{L} + \vec{u}_{c}$, напряжение во всей цепи $\vec{u}_{0} = \vec{u}_{1} + \vec{u}$ (соответствующие построения приведены на рис.).
По теореме косинусов $u_{0}^{2} = u_{1}^{2} + u^{2} - 2u_{1} u \cos ( \pi - \phi) = u_{1}^{2} + u^{2} + 2u_{1}u \cos \phi$, где $\phi$ - сдвиг фаз между током и напряжением на участке, где включена спираль. Из последнего уравнения $\cos \phi = \frac{u_{0}^{2} - u_{1}^{2} - u^{2}}{2u_{1}u}$. Действующее значение тока $I = \frac{u}{R}$. Мощность, выделяемая на участке со спиралью: $\bar{P} = Iu_{1} \cos \phi = \left ( \frac{u}{R} \right ) u_{1} \frac{u_{0}^{2} - u_{1}^{2} - u^{2}}{2u_{1}u} = \frac{u_{0}^{2} - u_{1}^{2} - u^{2}}{2R}$.
Для нагревания воды на $\Delta T$ ей понадобится сообщить количество теплоты $Q = cm \Delta T = \bar{P} \tau$, где $\tau$ - время работы спирали. После подстановки получаем
$cm \Delta T = \frac{ u_{0}^{2} - u_{1}^{2} - u^{2}}{2R} \tau \Rightarrow \tau = \frac{2cm R \Delta T}{u_{0}^{2} - u_{1}^{2} - u^{2}}$.
