Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3194
2017-04-30 
Определить силу тока в цепи переменного тока (рис.). Параметры элементов цепи и напряжение источника:$R_{1}, R_{2}, C, u, \omega$.
Решение:
В любой момент времени напряжение на конденсаторе $C$ и резисторе $R_{1}$ одинаково, так как они соединены параллельно. Это напряжение будем описывать вектором $\vec{u}_{1}$, который расположим вдоль оси X векторной диаграммы, т.е. $\vec{u}_{1} = \vec{u}_{1} (u_{1}; 0)$. Колебания тока в резисторе $R_{1}$ совпадают по фазе с колебаниями напряжения, их амплитуда равна $\frac{u_{1}}{R_{1}}$, поэтому они описываются вектором $\vec{I}_1 = \vec{I}_{1} \left ( \frac{u_{1}}{R_{1}}; 0 \right )$. Колебания тока на конденсаторе опережают колебания напряжения на $\pi/2$, их амплитуда равна $\frac{u_{1}}{X_{C}} = u_{1} \omega C$, поэтому они описываются вектором $\vec{I}_{C} = \vec{I}_{c} (0; u_{1} \omega C)$. Сложив вектора $\vec{I}_{1}$ и $\vec{I}_{C}$, найдем вектор $\vec{I}$, представляющий собой колебания тока в резисторе $R_{2}$, а значит, и во всей цепи (рис.).
Итак, вектор $\vec{I} = \vec{I} \left ( \frac{u_{1}}{R_{1}}; u_{1} \omega C \right )$, причем модуль тока $I = \sqrt{ \left ( \frac{u_{1}}{R_{1}} \right )^{2} + (u_{1} \omega C)^{2}} = \frac{u_{1}}{R_{1}} \sqrt{ 1 + (R_{1} \omega C)^{2}}$ (*) есть амплитуда колебаний тока через резистор $R_{2}$. Колебания напряжения на $R_{2}$ совпадают по фазе с колебаниями тока, их амплитуда равна $IR_{2}$ и они описываются вектором $\vec{u}_{2} = \vec{I}R_{2}$. Так как координаты вектора $\vec{I}$ выражены, то $\vec{u}_{2} = \vec{u}_{2} \left ( \frac{u_{1}}{R_{1}} R_{2} ; u_{1} R_{2} \omega C \right )$. Сумма напряжений $\vec{u}_{1}$ и $\vec{u}_{2}$ колеблющихся с разностью фаз $\phi$, в любой момент времени равна напряжению во всей цепи $\vec{u}$, причем модуль вектора $\vec{u}$ равен амплитуде колебаний переменного напряжения. Вектор $( \vec{u_{1}} + \vec{u}_{2})$ имеет координату по оси X, равную $u_{1x} + u_{2x} = u_{1} + \frac{u_{1}}{R_{1}} R_{2} = u_{1} \left ( 1 + \frac{R_{2}}{R_{1}} \right )$. Его координата по оси Y равна $u_{1y} + u_{2y} = 0 + u_{1} R_{2} \omega C = u_{1} R_{2} \omega C$. Модуль вектора $( \vec{u}_{1} + \vec{u}_{2}) ~ u = \sqrt{ \left ( u_{1} \left ( 1 + \frac{R_{2}}{R_{1}} \right ) \right )^{2} + (u_{1} R_{2} \omega C)^{2}} \Rightarrow u_{1} = \frac{u}{ \sqrt{ \left ( 1 + \frac{R_{2}}{R_{1}} \right )^{2} + (R_{2} \omega C)^{2}}}$. Теперь по формуле (*) находим ток:
$I = \frac{u}{R_{1}} \sqrt{ \frac{1 +(R_{1} \omega C)^{2}}{ \left ( 1 + \frac{R_{2}}{R_{1}} \right )^{2} + (R_{2} \omega C)^{2}}} = u \sqrt{ \frac{1 + (R_{1} \omega C)^{2}}{ (R_{1} + R_{2})^{2} + (R_{1}R_{2} \omega C)^{2}}}$.
Определить силу тока в цепи переменного тока (рис.). Параметры элементов цепи и напряжение источника:$R_{1}, R_{2}, C, u, \omega$.
Решение:
В любой момент времени напряжение на конденсаторе $C$ и резисторе $R_{1}$ одинаково, так как они соединены параллельно. Это напряжение будем описывать вектором $\vec{u}_{1}$, который расположим вдоль оси X векторной диаграммы, т.е. $\vec{u}_{1} = \vec{u}_{1} (u_{1}; 0)$. Колебания тока в резисторе $R_{1}$ совпадают по фазе с колебаниями напряжения, их амплитуда равна $\frac{u_{1}}{R_{1}}$, поэтому они описываются вектором $\vec{I}_1 = \vec{I}_{1} \left ( \frac{u_{1}}{R_{1}}; 0 \right )$. Колебания тока на конденсаторе опережают колебания напряжения на $\pi/2$, их амплитуда равна $\frac{u_{1}}{X_{C}} = u_{1} \omega C$, поэтому они описываются вектором $\vec{I}_{C} = \vec{I}_{c} (0; u_{1} \omega C)$. Сложив вектора $\vec{I}_{1}$ и $\vec{I}_{C}$, найдем вектор $\vec{I}$, представляющий собой колебания тока в резисторе $R_{2}$, а значит, и во всей цепи (рис.).
Итак, вектор $\vec{I} = \vec{I} \left ( \frac{u_{1}}{R_{1}}; u_{1} \omega C \right )$, причем модуль тока $I = \sqrt{ \left ( \frac{u_{1}}{R_{1}} \right )^{2} + (u_{1} \omega C)^{2}} = \frac{u_{1}}{R_{1}} \sqrt{ 1 + (R_{1} \omega C)^{2}}$ (*) есть амплитуда колебаний тока через резистор $R_{2}$. Колебания напряжения на $R_{2}$ совпадают по фазе с колебаниями тока, их амплитуда равна $IR_{2}$ и они описываются вектором $\vec{u}_{2} = \vec{I}R_{2}$. Так как координаты вектора $\vec{I}$ выражены, то $\vec{u}_{2} = \vec{u}_{2} \left ( \frac{u_{1}}{R_{1}} R_{2} ; u_{1} R_{2} \omega C \right )$. Сумма напряжений $\vec{u}_{1}$ и $\vec{u}_{2}$ колеблющихся с разностью фаз $\phi$, в любой момент времени равна напряжению во всей цепи $\vec{u}$, причем модуль вектора $\vec{u}$ равен амплитуде колебаний переменного напряжения. Вектор $( \vec{u_{1}} + \vec{u}_{2})$ имеет координату по оси X, равную $u_{1x} + u_{2x} = u_{1} + \frac{u_{1}}{R_{1}} R_{2} = u_{1} \left ( 1 + \frac{R_{2}}{R_{1}} \right )$. Его координата по оси Y равна $u_{1y} + u_{2y} = 0 + u_{1} R_{2} \omega C = u_{1} R_{2} \omega C$. Модуль вектора $( \vec{u}_{1} + \vec{u}_{2}) ~ u = \sqrt{ \left ( u_{1} \left ( 1 + \frac{R_{2}}{R_{1}} \right ) \right )^{2} + (u_{1} R_{2} \omega C)^{2}} \Rightarrow u_{1} = \frac{u}{ \sqrt{ \left ( 1 + \frac{R_{2}}{R_{1}} \right )^{2} + (R_{2} \omega C)^{2}}}$. Теперь по формуле (*) находим ток:
$I = \frac{u}{R_{1}} \sqrt{ \frac{1 +(R_{1} \omega C)^{2}}{ \left ( 1 + \frac{R_{2}}{R_{1}} \right )^{2} + (R_{2} \omega C)^{2}}} = u \sqrt{ \frac{1 + (R_{1} \omega C)^{2}}{ (R_{1} + R_{2})^{2} + (R_{1}R_{2} \omega C)^{2}}}$.
