Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3191
2017-04-30 
Колебательный контур через ключ К подключен к источнику ЭДС с некоторым внутренним сопротивлением $r$ (рис.). Первоначально ключ К замкнут. После установления стационарного режима ключ размыкают и в контуре возникают колебания с периодом $T$. При этом амплитуда напряжения на конденсаторе в $n$ раз больше ЭДС батареи. Найти индуктивность катушки и емкость сопротивления. Сопротивлением катушки можно пренебречь.
Решение:
1. Ключ замкнут. Пусть ЭДС источника равна $\mathcal{E}$. В стационарном режиме постоянный ток $I$ протекает по контуру АВMN и его значение $I = \frac{ \mathcal{E}}{r}$.
2. Ключ разомкнут. В колебательном контуре возникают колебания с периодом $T = 2 \pi \sqrt{LС}$ (1).
В момент размыкания конденсатор не заряжен, а через катушку протекает ток $I$, равный амплитудному значению тока при колебаниях: $I_{m} = I$. При этом вся энергия контура сосредоточена в магнитном поле катушки и равна $W_{м} = \frac{LI_{m}^{2}}{2}$. В тот момент, когда напряжение на конденсаторе максимально, ток через катушку равен нулю, и вся энергия контура сосредоточена в конденсаторе, т.е. $W_{э} = \frac{Cu_{m}^{2}}{2}$. Так как
$W_{м} = W_{э} \Rightarrow \frac{LI_{m}^{2}}{2} = \frac{CU_{m}^{2}}{2} \Rightarrow u_{m} = I_{m} \sqrt{ \frac{L}{C}}$.
По условию задачи $\frac{u}{ \mathcal{E}} = n \Rightarrow \frac{I_{m} \sqrt{ \frac{L}{C}}}{ \mathcal{E}} = n \Rightarrow \frac{ \frac{ \mathcal{E}}{r} \sqrt{ \frac{L}{C}}}{ \mathcal{E}} = n \Rightarrow nr = \sqrt{ \frac{L}{C}}$. (2)
Уравнения (1) и (2) образуют систему
$\begin{cases} T = 2 \pi \sqrt{LC}, \\ nr= \sqrt{ \frac{L}{C} }, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} LC = \left ( \frac{T}{2 \pi} \right )^{2}, \\ \frac{L}{C} = (nr)^{2}, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (Cnr)^{2} = \left ( \frac{T}{2 \pi} \right )^{2}, \\ L = C(nr)^{2}. \end{cases} \Rightarrow C = \frac{T}{2 \pi nr}$, а $L = \frac{T nr}{2 \pi}$.
Колебательный контур через ключ К подключен к источнику ЭДС с некоторым внутренним сопротивлением $r$ (рис.). Первоначально ключ К замкнут. После установления стационарного режима ключ размыкают и в контуре возникают колебания с периодом $T$. При этом амплитуда напряжения на конденсаторе в $n$ раз больше ЭДС батареи. Найти индуктивность катушки и емкость сопротивления. Сопротивлением катушки можно пренебречь.
Решение:
1. Ключ замкнут. Пусть ЭДС источника равна $\mathcal{E}$. В стационарном режиме постоянный ток $I$ протекает по контуру АВMN и его значение $I = \frac{ \mathcal{E}}{r}$.
2. Ключ разомкнут. В колебательном контуре возникают колебания с периодом $T = 2 \pi \sqrt{LС}$ (1).
В момент размыкания конденсатор не заряжен, а через катушку протекает ток $I$, равный амплитудному значению тока при колебаниях: $I_{m} = I$. При этом вся энергия контура сосредоточена в магнитном поле катушки и равна $W_{м} = \frac{LI_{m}^{2}}{2}$. В тот момент, когда напряжение на конденсаторе максимально, ток через катушку равен нулю, и вся энергия контура сосредоточена в конденсаторе, т.е. $W_{э} = \frac{Cu_{m}^{2}}{2}$. Так как
$W_{м} = W_{э} \Rightarrow \frac{LI_{m}^{2}}{2} = \frac{CU_{m}^{2}}{2} \Rightarrow u_{m} = I_{m} \sqrt{ \frac{L}{C}}$.
По условию задачи $\frac{u}{ \mathcal{E}} = n \Rightarrow \frac{I_{m} \sqrt{ \frac{L}{C}}}{ \mathcal{E}} = n \Rightarrow \frac{ \frac{ \mathcal{E}}{r} \sqrt{ \frac{L}{C}}}{ \mathcal{E}} = n \Rightarrow nr = \sqrt{ \frac{L}{C}}$. (2)
Уравнения (1) и (2) образуют систему
$\begin{cases} T = 2 \pi \sqrt{LC}, \\ nr= \sqrt{ \frac{L}{C} }, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} LC = \left ( \frac{T}{2 \pi} \right )^{2}, \\ \frac{L}{C} = (nr)^{2}, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (Cnr)^{2} = \left ( \frac{T}{2 \pi} \right )^{2}, \\ L = C(nr)^{2}. \end{cases} \Rightarrow C = \frac{T}{2 \pi nr}$, а $L = \frac{T nr}{2 \pi}$.
