Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3189
2017-04-30 
Конденсатор емкостью $C = 50 пФ$ сначала подключили к источнику тока с ЭДС $\mathcal{E} = 3 В$, а затем к катушке с индуктивностью $L = 5,1 мкГн$. Найти: частоту колебаний, возникших в контуре, максимальное значение силы тока в контуре и его действующее значение.
Решение:
На рис. К - ключ, при помощи которого конденсатор $C$ подключают к источнику ЭДС. При этом конденсатор заряжается до напряжения $u = \mathcal{E}$ него заряд $q_{m} =C \mathcal{E}$. Затем при помощи ключа заряженный конденсатор подключают к катушке. В колебательном контуре возникают колебания заряда, тока и напряжения на конденсаторе. Собственная частота колебаний $\omega_{0} = \frac{1}{ \sqrt{LC}} = 6,3 \cdot 10^{7} Гц$.
Определить максимальное значение тока можно двумя способами.
1. Так как в контуре возникают гармонические колебания, то $q(t) = q_{m} \cos ( \omega_{0}t + \phi_{0})$, гдe $\phi_{0}$ - начальная фаза колебаний. В момент времени $t = О$
$q(t) = q(0) = q_{m} = q_{m} \cos \phi_{0} \Rightarrow \cos \phi_{0} = 1 \Rightarrow \phi_{0} = 0$.
Итак, колебания заряда конденсатора описываются формулой $q(t) = q_{m} \cos ( \omega_{0} t )$. Ток в контуре $i(t) = q^{ \prime} (t) = (q_{m} \cos \omega_{0} t)^{ \prime} = - q_{m} \omega_{0} \sin \omega_{0} t = q_{m} \omega_{0} \cos \left ( \omega_{0}t + \frac{ \pi}{2} \right )$. Отсюда следует, что амплитуда тока $I_{m} = q_{m} \omega_{0} = C \mathcal{E} \cdot \frac{1}{ \sqrt{LC}} = \mathcal{E} \sqrt{ \frac{C}{L}} = 9,4 \cdot 10^{-3} А$.
2. Начальная энергия контура сосредоточена в электростатическом поле конденсатора и равна $W_{1} = \frac{C \mathcal{E}^{2}}{2}$. В тот момент когда ток максимален, заряд конденсатора равен нулю, вся энергия контура сосредоточена в катушке и равна $W_{2} = \frac{LI_{m}^{2}}{2}$. По закону сохранения энергии
$W_{1} = W_{2} \Rightarrow \frac{ \mathcal{E}^{2}}{2} = \frac{LI_{m}^{2}}{2} \Rightarrow I_{m} = \mathcal{E} \sqrt{ \frac{C}{L}}$.
Действующее значение тока
$I_{д} = \frac{I_{m}}{ \sqrt{2}} = \mathcal{E} \sqrt{ \frac{C}{2L}} = 8,6 \cdot 10^{-3} А$.
Конденсатор емкостью $C = 50 пФ$ сначала подключили к источнику тока с ЭДС $\mathcal{E} = 3 В$, а затем к катушке с индуктивностью $L = 5,1 мкГн$. Найти: частоту колебаний, возникших в контуре, максимальное значение силы тока в контуре и его действующее значение.
Решение:
На рис. К - ключ, при помощи которого конденсатор $C$ подключают к источнику ЭДС. При этом конденсатор заряжается до напряжения $u = \mathcal{E}$ него заряд $q_{m} =C \mathcal{E}$. Затем при помощи ключа заряженный конденсатор подключают к катушке. В колебательном контуре возникают колебания заряда, тока и напряжения на конденсаторе. Собственная частота колебаний $\omega_{0} = \frac{1}{ \sqrt{LC}} = 6,3 \cdot 10^{7} Гц$.
Определить максимальное значение тока можно двумя способами.
1. Так как в контуре возникают гармонические колебания, то $q(t) = q_{m} \cos ( \omega_{0}t + \phi_{0})$, гдe $\phi_{0}$ - начальная фаза колебаний. В момент времени $t = О$
$q(t) = q(0) = q_{m} = q_{m} \cos \phi_{0} \Rightarrow \cos \phi_{0} = 1 \Rightarrow \phi_{0} = 0$.
Итак, колебания заряда конденсатора описываются формулой $q(t) = q_{m} \cos ( \omega_{0} t )$. Ток в контуре $i(t) = q^{ \prime} (t) = (q_{m} \cos \omega_{0} t)^{ \prime} = - q_{m} \omega_{0} \sin \omega_{0} t = q_{m} \omega_{0} \cos \left ( \omega_{0}t + \frac{ \pi}{2} \right )$. Отсюда следует, что амплитуда тока $I_{m} = q_{m} \omega_{0} = C \mathcal{E} \cdot \frac{1}{ \sqrt{LC}} = \mathcal{E} \sqrt{ \frac{C}{L}} = 9,4 \cdot 10^{-3} А$.
2. Начальная энергия контура сосредоточена в электростатическом поле конденсатора и равна $W_{1} = \frac{C \mathcal{E}^{2}}{2}$. В тот момент когда ток максимален, заряд конденсатора равен нулю, вся энергия контура сосредоточена в катушке и равна $W_{2} = \frac{LI_{m}^{2}}{2}$. По закону сохранения энергии
$W_{1} = W_{2} \Rightarrow \frac{ \mathcal{E}^{2}}{2} = \frac{LI_{m}^{2}}{2} \Rightarrow I_{m} = \mathcal{E} \sqrt{ \frac{C}{L}}$.
Действующее значение тока
$I_{д} = \frac{I_{m}}{ \sqrt{2}} = \mathcal{E} \sqrt{ \frac{C}{2L}} = 8,6 \cdot 10^{-3} А$.
