Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3188
2017-04-30 
Проводник массой $m$ и длиной $l$ подвешен к диэлектрику с помощью двух одинаковых проводящих пружин с общей жесткостью $k$. Однородное магнитное поле с индукцией $B$ направлено перпендикулярно плоскости чертежа (рис.). К верхним концам пружины присоединен конденсатор емкостью $C$. Пренебрегая сопротивлением, собственной индуктивностью и емкостью проводников, определить период колебаний системы в вертикальной плоскости.
Решение:
При равновесии проводника $mg - kx_{0} = 0$, где $x_{0} = \frac{mg}{k}$ - начальная деформация пружин. Выберем ось координат X, направленную вертикально вниз. Ее начало поместим в точке, соответствующей положению равновесия, тогда в любой момент времени деформация пружин равна $(x + x_{0})$, где $x$ - координата проводника. При колебаниях полная энергия системы складывается из:
1) кинетической энергии проводника $W_{k} = \frac{mv^{2}}{2} = \frac{m (x^{ \prime})^{2}}{2}$;
2) потенциальной энергии проводника в поле тяжести Земли $W_{p} = - mgx$ (нулевое значение потенциальной энергии соответствует положению равновесия проводника, т.е. когда проводник находится в начале координат);
3) потенциальной энергии упругой деформации пружин $W_{y} = \frac{k(x + x_{0})^{2}}{2}$;
4) электростатической энергии конденсатора $W_{э} = \frac{Cu^{2}}{2}$, где $u$ - напряжение на конденсаторе.
Так как проводник движется в магнитном поле, то на его концах возникает ЭДС индукции $\mathcal{E}_{i} = Blv = Bl x^{ \prime}$. Поскольку сопротивлением проводника и пружинок можно пренебречь, то в любой момент времени напряжение на конденсаторе равно ЭДС индукции, т.е. $u = \mathcal{E}_{i}$. Следовательно, $W_{э} = \frac{C(Blx^{ \prime})^{2}}{2}$. Полная энергия системы $W = W_{k} + W_{p} + W_{y} + W_{э} = \frac{m(x^{ \prime})^{2}}{2} - mgx + \frac{k(x+x_{0})^{2}}{2} + \frac{C(Blx^{ \prime})^{2}}{2}$.
Вычислим производную от полной энергии по времени:\
$W = \frac{m}{2} \cdot 2x^{ \prime} \cdot x^{ \prime \prime} - mgx^{ \prime} + \frac{k}{2} \cdot 2 (x + x_{0}) x^{ \prime} + \frac{C(Bl)^{2}}{2} \cdot 2 x^{ \prime} \cdot x^{ \prime \prime} = mx^{ \prime}x^{ \prime \prime} - mgx^{ \prime} + k(x+x_{0})x^{ \prime} + C(Bl)^{2} x^{ \prime} x^{ \prime \prime} = (( m + C(Bl)^{2}) x^{ \prime \prime} + kx - (mg - kx_{0}) ) x^{ \prime}$.
Напомним, что $mg - kx_{0} = 0$, поэтому
$W^{ \prime} = ((m + C(Bl)^{2}) x^{ \prime \prime} + kx) x^{ \prime}$. Полная энергия системы сохраняется, т.е. $W = const$, следовательно, $W^{ \prime} = O$. Подставляя и сокращая на $x^{ \prime}$, получаем уравнение $(m + B(Bl)^{2}) x^{ \prime \prime} + kx = 0 \Rightarrow x^{ \prime \prime} + \frac{k}{m + C(Bl)^{2}} x = 0 \Rightarrow x^{ \prime \prime} + \omega_{0}^{2} x = 0$, где $\omega_{0}^{2} = \frac{k}{m + C(Bl)^{2}}$.
Итак, проводник совершает гармонические колебания с частотой
$\omega_{0} = \sqrt{ \frac{k}{m + C(Bl)^{2}}}$ и периодом $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m + C(Bl)^{2}}{k}}$.
Проводник массой $m$ и длиной $l$ подвешен к диэлектрику с помощью двух одинаковых проводящих пружин с общей жесткостью $k$. Однородное магнитное поле с индукцией $B$ направлено перпендикулярно плоскости чертежа (рис.). К верхним концам пружины присоединен конденсатор емкостью $C$. Пренебрегая сопротивлением, собственной индуктивностью и емкостью проводников, определить период колебаний системы в вертикальной плоскости.
Решение:
При равновесии проводника $mg - kx_{0} = 0$, где $x_{0} = \frac{mg}{k}$ - начальная деформация пружин. Выберем ось координат X, направленную вертикально вниз. Ее начало поместим в точке, соответствующей положению равновесия, тогда в любой момент времени деформация пружин равна $(x + x_{0})$, где $x$ - координата проводника. При колебаниях полная энергия системы складывается из:
1) кинетической энергии проводника $W_{k} = \frac{mv^{2}}{2} = \frac{m (x^{ \prime})^{2}}{2}$;
2) потенциальной энергии проводника в поле тяжести Земли $W_{p} = - mgx$ (нулевое значение потенциальной энергии соответствует положению равновесия проводника, т.е. когда проводник находится в начале координат);
3) потенциальной энергии упругой деформации пружин $W_{y} = \frac{k(x + x_{0})^{2}}{2}$;
4) электростатической энергии конденсатора $W_{э} = \frac{Cu^{2}}{2}$, где $u$ - напряжение на конденсаторе.
Так как проводник движется в магнитном поле, то на его концах возникает ЭДС индукции $\mathcal{E}_{i} = Blv = Bl x^{ \prime}$. Поскольку сопротивлением проводника и пружинок можно пренебречь, то в любой момент времени напряжение на конденсаторе равно ЭДС индукции, т.е. $u = \mathcal{E}_{i}$. Следовательно, $W_{э} = \frac{C(Blx^{ \prime})^{2}}{2}$. Полная энергия системы $W = W_{k} + W_{p} + W_{y} + W_{э} = \frac{m(x^{ \prime})^{2}}{2} - mgx + \frac{k(x+x_{0})^{2}}{2} + \frac{C(Blx^{ \prime})^{2}}{2}$.
Вычислим производную от полной энергии по времени:\
$W = \frac{m}{2} \cdot 2x^{ \prime} \cdot x^{ \prime \prime} - mgx^{ \prime} + \frac{k}{2} \cdot 2 (x + x_{0}) x^{ \prime} + \frac{C(Bl)^{2}}{2} \cdot 2 x^{ \prime} \cdot x^{ \prime \prime} = mx^{ \prime}x^{ \prime \prime} - mgx^{ \prime} + k(x+x_{0})x^{ \prime} + C(Bl)^{2} x^{ \prime} x^{ \prime \prime} = (( m + C(Bl)^{2}) x^{ \prime \prime} + kx - (mg - kx_{0}) ) x^{ \prime}$.
Напомним, что $mg - kx_{0} = 0$, поэтому
$W^{ \prime} = ((m + C(Bl)^{2}) x^{ \prime \prime} + kx) x^{ \prime}$. Полная энергия системы сохраняется, т.е. $W = const$, следовательно, $W^{ \prime} = O$. Подставляя и сокращая на $x^{ \prime}$, получаем уравнение $(m + B(Bl)^{2}) x^{ \prime \prime} + kx = 0 \Rightarrow x^{ \prime \prime} + \frac{k}{m + C(Bl)^{2}} x = 0 \Rightarrow x^{ \prime \prime} + \omega_{0}^{2} x = 0$, где $\omega_{0}^{2} = \frac{k}{m + C(Bl)^{2}}$.
Итак, проводник совершает гармонические колебания с частотой
$\omega_{0} = \sqrt{ \frac{k}{m + C(Bl)^{2}}}$ и периодом $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m + C(Bl)^{2}}{k}}$.
