Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3187
2017-04-30 
Тонкое проволочное кольцо радиусом $R$ имеет электрический заряд $Q > 0$. Как будет двигаться точечный заряд массой $m$, имеющий заряд $(- q) (q>0)$, если в начальный момент времени он покоился в некоторой точке на оси кольца на расстоянии $d \ll R$ от его центра? Кольцо неподвижно.
Решение:
Кольцо притягивает к себе заряд $(- q)$. Пусть в некоторый момент времени заряд находится на расстоянии $x < d \ll R$ от центра кольца и его скорость при этом $v = x^{ \prime}$. Кинетическая энергия заряда $\frac{mv^{2}}{2} = \frac{m (x^{ \prime})^{2}}{2}$. Его потенциальная энергия - это потенциальная энергия в электростатическом поле кольца, равная $(- q) \phi (x)$, где $\phi(x)$ - потенциал, создаваемый кольцом в точке расположения заряда. Потенциал, создаваемый заряженным кольцом, равен $\phi (x) = k \frac{Q}{ \sqrt{R^{2} +x^{2}}}$, где $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} = 9 \cdot 10^{9} (Н \cdot м^{2})/Кл^{2}$. Следовательно, потенциальная энергия заряда равна - $k \frac{qQ}{ \sqrt{R^{2} + x^{2}}}$. Полная энергия заряда складывается из его кинетической и потенциальной энергии: $W = \frac{m (x^{ \prime})^{2}}{2} - k \frac{qQ}{ \sqrt{R^{2} + x^{2}}}$. Отметим, что эта энергия в процессе движения заряда не изменяется, т.е. $W = const$.
Найдем производную от полной энергии заряда по времени:
$W^{ \prime} = \left ( \frac{m(x^{ \prime})^{2}}{2} - k \frac{qQ}{ \sqrt{R^{2} + x^{2}}} \right ) = \frac{m}{2} \cdot 2 x^{ \prime} \cdot x^{ \prime \prime} - kqQ \left ( - \frac{1}{2} \right ) (R^{2} + x^{2})^{-3/2} \cdot 2x \cdot x^{ \prime} = \left ( mx^{ \prime \prime} + kqQ \frac{x}{ \sqrt{(R^{3} + x^{2})^{3}}} \right ) x^{ \prime}$. Так как $W = const$, то $W^{ \prime} = 0$, и после сокращения на $x^{ \prime}$ получаем $mx^{ \prime} + kqQ \frac{x}{ \sqrt{(R^{2} + x^{2})^{3}}} = 0$ (*).
Отметим, что $\sqrt{ (R^{2} + x^{2})^{3}} = \sqrt{ \left ( R^{3} \left ( 1 + \frac{x^{2}}{R^{2}} \right ) \right )^{3}}$. Так как $x \ll R$, то отношение $\left ( \frac{x}{R} \right )^{2} \rightarrow 0$, и в этом приближении уравнение (*) приводится к виду
$mx^{ \prime} + kqQ \frac{x}{R^{3}} = 0 \Rightarrow x^{ \prime \prime} + \frac{kQq}{mR^{3}} x = 0 \Rightarrow x^{ \prime \prime} + \omega_{0}^{2} = 0$, где $\omega_{0}^{2} = \frac{kqQ}{mR^{3}} > 0$. Мы получили уравнение гармонических колебаний заряда, происходящих с частотой $\omega_{0} = \sqrt{ \frac{kqQ}{mR^{3}}}$ и периодом $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{mR^{3}}{kqQ} }$.
Тонкое проволочное кольцо радиусом $R$ имеет электрический заряд $Q > 0$. Как будет двигаться точечный заряд массой $m$, имеющий заряд $(- q) (q>0)$, если в начальный момент времени он покоился в некоторой точке на оси кольца на расстоянии $d \ll R$ от его центра? Кольцо неподвижно.
Решение:
Кольцо притягивает к себе заряд $(- q)$. Пусть в некоторый момент времени заряд находится на расстоянии $x < d \ll R$ от центра кольца и его скорость при этом $v = x^{ \prime}$. Кинетическая энергия заряда $\frac{mv^{2}}{2} = \frac{m (x^{ \prime})^{2}}{2}$. Его потенциальная энергия - это потенциальная энергия в электростатическом поле кольца, равная $(- q) \phi (x)$, где $\phi(x)$ - потенциал, создаваемый кольцом в точке расположения заряда. Потенциал, создаваемый заряженным кольцом, равен $\phi (x) = k \frac{Q}{ \sqrt{R^{2} +x^{2}}}$, где $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} = 9 \cdot 10^{9} (Н \cdot м^{2})/Кл^{2}$. Следовательно, потенциальная энергия заряда равна - $k \frac{qQ}{ \sqrt{R^{2} + x^{2}}}$. Полная энергия заряда складывается из его кинетической и потенциальной энергии: $W = \frac{m (x^{ \prime})^{2}}{2} - k \frac{qQ}{ \sqrt{R^{2} + x^{2}}}$. Отметим, что эта энергия в процессе движения заряда не изменяется, т.е. $W = const$.
Найдем производную от полной энергии заряда по времени:
$W^{ \prime} = \left ( \frac{m(x^{ \prime})^{2}}{2} - k \frac{qQ}{ \sqrt{R^{2} + x^{2}}} \right ) = \frac{m}{2} \cdot 2 x^{ \prime} \cdot x^{ \prime \prime} - kqQ \left ( - \frac{1}{2} \right ) (R^{2} + x^{2})^{-3/2} \cdot 2x \cdot x^{ \prime} = \left ( mx^{ \prime \prime} + kqQ \frac{x}{ \sqrt{(R^{3} + x^{2})^{3}}} \right ) x^{ \prime}$. Так как $W = const$, то $W^{ \prime} = 0$, и после сокращения на $x^{ \prime}$ получаем $mx^{ \prime} + kqQ \frac{x}{ \sqrt{(R^{2} + x^{2})^{3}}} = 0$ (*).
Отметим, что $\sqrt{ (R^{2} + x^{2})^{3}} = \sqrt{ \left ( R^{3} \left ( 1 + \frac{x^{2}}{R^{2}} \right ) \right )^{3}}$. Так как $x \ll R$, то отношение $\left ( \frac{x}{R} \right )^{2} \rightarrow 0$, и в этом приближении уравнение (*) приводится к виду
$mx^{ \prime} + kqQ \frac{x}{R^{3}} = 0 \Rightarrow x^{ \prime \prime} + \frac{kQq}{mR^{3}} x = 0 \Rightarrow x^{ \prime \prime} + \omega_{0}^{2} = 0$, где $\omega_{0}^{2} = \frac{kqQ}{mR^{3}} > 0$. Мы получили уравнение гармонических колебаний заряда, происходящих с частотой $\omega_{0} = \sqrt{ \frac{kqQ}{mR^{3}}}$ и периодом $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{mR^{3}}{kqQ} }$.
