Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3183
2017-04-30 
На какую часть длины надо уменьшить длину математического маятника, чтобы период колебаний маятника на высоте 10 км был равен периоду его колебаний на поверхности Земли? Радиус Земли $R_{з} = 6400 км$.
Решение:
Период колебаний математического маятника длиной $l$ на поверхности Земли равен $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g}}$. Известно, что ускорение свободного падения на поверхности Земли равно $g = \frac{CM_{з}}{R_{з}^{2}}$, где $G$ - гравитационная постоянная, а $M_{з}$ - масса Земли. С увеличением расстояния от поверхности Земли ускорение свободного падения уменьшается, и на высоте $h = 10 км$ оно равно $g_{1} = \frac{CM_{з}}{(R_{з} + h)^{2}}$. Для того, чтобы период колебаний остался неизменным, надо уменьшить длину маятника, сделав ее $l_{1}$. Тогда период колебаний будет равен $T_{1} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l_{1}}{g_{1}}}$. Так как по условию задачи $T_{1} = T$, то $\frac{l_{1}}{g_{1}} = \frac{l}{g} \Rightarrow l_{1} = l \frac{g_{1}}{g}$. Уменьшение длины нити $l-l_{1} = l \left ( 1 - \frac{g_{1}}{g} \right )$ , и искомое отношение
$\frac{l - l_{1}}{l} = 1 - \frac{g_{1}}{g} = 1 - \left ( \frac{R_{3}}{R_{3} + h} \right )^{2} = 3 \cdot 10^{-3}$.
На какую часть длины надо уменьшить длину математического маятника, чтобы период колебаний маятника на высоте 10 км был равен периоду его колебаний на поверхности Земли? Радиус Земли $R_{з} = 6400 км$.
Решение:
Период колебаний математического маятника длиной $l$ на поверхности Земли равен $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g}}$. Известно, что ускорение свободного падения на поверхности Земли равно $g = \frac{CM_{з}}{R_{з}^{2}}$, где $G$ - гравитационная постоянная, а $M_{з}$ - масса Земли. С увеличением расстояния от поверхности Земли ускорение свободного падения уменьшается, и на высоте $h = 10 км$ оно равно $g_{1} = \frac{CM_{з}}{(R_{з} + h)^{2}}$. Для того, чтобы период колебаний остался неизменным, надо уменьшить длину маятника, сделав ее $l_{1}$. Тогда период колебаний будет равен $T_{1} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l_{1}}{g_{1}}}$. Так как по условию задачи $T_{1} = T$, то $\frac{l_{1}}{g_{1}} = \frac{l}{g} \Rightarrow l_{1} = l \frac{g_{1}}{g}$. Уменьшение длины нити $l-l_{1} = l \left ( 1 - \frac{g_{1}}{g} \right )$ , и искомое отношение
$\frac{l - l_{1}}{l} = 1 - \frac{g_{1}}{g} = 1 - \left ( \frac{R_{3}}{R_{3} + h} \right )^{2} = 3 \cdot 10^{-3}$.
