Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3182
2017-04-30 
Однородную по длине пружину с жесткостью к разрезали на две части так, что отношение их длин равно $n$. С помощью двух получившихся пружин небольшое тело массой $m$ закрепили между двумя стенками так, что обе пружины оказались недеформированными. Пренебрегая массой пружин и силой тяжести, найти период малых колебаний данного тела. Трением пренебречь.
Решение:
Пусть $l_{1}$ и $l_{2}$ - длины образовавшихся пружин, а $l$ - длина всей пружины, тогда $l_{1}/l_{2} = n$. Найдем коэффициенты жесткости каждой пружины. Известно, что коэффициент жесткости вырожается формулой $k = \frac{ES}{l}$, где $E$ - модуль Юнга, $S$ - площадь сечения пружины, $l$ - ее длина. Следовательно, $\frac{k_{1}}{k_{2}} = \frac{l_{2}}{l_{1}} = \frac{1}{n}$ (1)
Кроме того, $\frac{k}{k_{1}} = \frac{l_{1}}{l}$ и $\frac{k}{k_{2}} = \frac{l_{2}}{l}$. После сложения этих равенств получим $\frac{k}{k_{1}} + \frac{k}{k_{2}} = \frac{l_{1}}{l} + \frac{l_{2}}{l} = 1 \Rightarrow k \left ( \frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} \right ) = 1 \Rightarrow k = \frac{k_{1}k_{2}}{k_{1} + k_{2}}$ (2). (Формула последовательного соединения пружин.)
Уравнения (1) и (2) образуют систему
$\begin{cases} \frac{k_{1}}{k_{2}} = \frac{1}{n}, \\ \frac{k_{1}k_{2}}{k_{1} + k_{2}} = k, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} k_{2} = nk_{a}, \\ \frac{k_{1}^{2}n}{k_{1} + nk_{1}} = k, \end{cases} \begin{cases} k_{1} = \frac{k(1+n)}{n}, \\ k_{2} = k(1+n). \end{cases}$
Поместим начало координатной оси X в точку, соответствующую положению равновесия тела (рис.). При смещении тела, например, влево на него будут действовать силы упругости, направленные вправо. (Поэтому проекции этих сил отрицательны.) По второму закону Ньютона
$-k_{1}x - k_{2}x = mx^{ \prime \prime} \Rightarrow mx^{ \prime \prime} + (k_{1} + k_{2}) x = 0 \Rightarrow x^{ \prime \prime} + \frac{k_{1} + k_{2}}{m} x = 0 \Rightarrow x^{ \prime \prime} + \omega_{0}^{2} x = 0$, где $\omega_{0}^{2} = \frac{k_{1} + k_{2}}{m}$.
Получили уравнение гармонических колебаний с частотой $\omega_{0} = \sqrt{ \frac{k_{1} + k_{2}}{m}}$. Следовательно, период колебаний $T = \frac{2 \pi}{ \omega_{0}} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k_{1} + k_{2}}} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k \frac{1+n}{n} + k(1+n)}} = 2 \pi \sqrt{ \frac{mn}{k(1+n)^{2}}} = \frac{2 \pi}{1 + n} \sqrt{ \frac{n}{k} m}$.
Однородную по длине пружину с жесткостью к разрезали на две части так, что отношение их длин равно $n$. С помощью двух получившихся пружин небольшое тело массой $m$ закрепили между двумя стенками так, что обе пружины оказались недеформированными. Пренебрегая массой пружин и силой тяжести, найти период малых колебаний данного тела. Трением пренебречь.
Решение:
Пусть $l_{1}$ и $l_{2}$ - длины образовавшихся пружин, а $l$ - длина всей пружины, тогда $l_{1}/l_{2} = n$. Найдем коэффициенты жесткости каждой пружины. Известно, что коэффициент жесткости вырожается формулой $k = \frac{ES}{l}$, где $E$ - модуль Юнга, $S$ - площадь сечения пружины, $l$ - ее длина. Следовательно, $\frac{k_{1}}{k_{2}} = \frac{l_{2}}{l_{1}} = \frac{1}{n}$ (1)
Кроме того, $\frac{k}{k_{1}} = \frac{l_{1}}{l}$ и $\frac{k}{k_{2}} = \frac{l_{2}}{l}$. После сложения этих равенств получим $\frac{k}{k_{1}} + \frac{k}{k_{2}} = \frac{l_{1}}{l} + \frac{l_{2}}{l} = 1 \Rightarrow k \left ( \frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} \right ) = 1 \Rightarrow k = \frac{k_{1}k_{2}}{k_{1} + k_{2}}$ (2). (Формула последовательного соединения пружин.)
Уравнения (1) и (2) образуют систему
$\begin{cases} \frac{k_{1}}{k_{2}} = \frac{1}{n}, \\ \frac{k_{1}k_{2}}{k_{1} + k_{2}} = k, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} k_{2} = nk_{a}, \\ \frac{k_{1}^{2}n}{k_{1} + nk_{1}} = k, \end{cases} \begin{cases} k_{1} = \frac{k(1+n)}{n}, \\ k_{2} = k(1+n). \end{cases}$
Поместим начало координатной оси X в точку, соответствующую положению равновесия тела (рис.). При смещении тела, например, влево на него будут действовать силы упругости, направленные вправо. (Поэтому проекции этих сил отрицательны.) По второму закону Ньютона
$-k_{1}x - k_{2}x = mx^{ \prime \prime} \Rightarrow mx^{ \prime \prime} + (k_{1} + k_{2}) x = 0 \Rightarrow x^{ \prime \prime} + \frac{k_{1} + k_{2}}{m} x = 0 \Rightarrow x^{ \prime \prime} + \omega_{0}^{2} x = 0$, где $\omega_{0}^{2} = \frac{k_{1} + k_{2}}{m}$.
Получили уравнение гармонических колебаний с частотой $\omega_{0} = \sqrt{ \frac{k_{1} + k_{2}}{m}}$. Следовательно, период колебаний $T = \frac{2 \pi}{ \omega_{0}} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k_{1} + k_{2}}} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k \frac{1+n}{n} + k(1+n)}} = 2 \pi \sqrt{ \frac{mn}{k(1+n)^{2}}} = \frac{2 \pi}{1 + n} \sqrt{ \frac{n}{k} m}$.
