Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3181
2017-04-30 
На горизонтальной пружине укреплено тело массой $M = 10 кг$, лежащее на абсолютно гладком столе. В это тело попадает и застревает в нем пуля массой $m = 10 г$, летящая со скоростью $v = 500 м/с$, направленной вдоль оси пружины. Амплитуда возникших при этом колебаний $A = О,1 м$. Найти период колебаний. Как будут изменяться координата и скорость при колебаниях?
Решение:
Пусть $\vec{u}$ - скорость тела сразу после попадания пули. В горизонтальном направлении X начальный импульс системы «тело-пуля» равен $mv$, а конечный импульс (сразу после попадания пули) - $(M+m)u$. По закону сохранения импульса $mv = (M + m)u \Rightarrow u = \frac{mv}{M+m}$.
После попадания пули механическая энергия системы $W_{1} = \frac{(M+m)u^{2}}{2}$. При отклонении тела на расстояние, равное амплитуде $A$, скорость тела обращается в ноль, и механическая энергия системы $W_{2}$ равна потенциальной энергии упругой деформации, т.е. $W_{2} = \frac{kA^{2}}{2}$, где $k$ - коэффициент жесткости пружины. Так как трения нет, то механическая энергия при колебаниях сохраняется: $W_{1} = W_{2} \Rightarrow \frac{(M+m)u^{2}}{2} = \frac{kA^{2}}{2} \Rightarrow k = \frac{(M+m)u^{2}}{A^{2}} = \frac{(M+m)(mv/(M+m))^{2}}{A^{2}} = \frac{(mv)^{2}}{A^{2}(M+m)}$. Период колебаний $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{M+m}{k}} = \frac{2 \pi}{A} \left ( \frac{M+m}{mv} \right ) = 1,26 с$.
Если начало координатной оси X поместить в точку, где в момент начала колебаний находилось тело, то координата и скорость его будут изменяться по гармоническому закону от времени и выражаться формулами:
$x(t) = A \sin \left ( \frac{2 \pi}{T} t \right )$ и $v(t) = \frac{2 \pi}{T} A \cos \left ( \frac{2 \pi}{T} t \right )$.
Эти результаты были получены в задаче 3173.
На горизонтальной пружине укреплено тело массой $M = 10 кг$, лежащее на абсолютно гладком столе. В это тело попадает и застревает в нем пуля массой $m = 10 г$, летящая со скоростью $v = 500 м/с$, направленной вдоль оси пружины. Амплитуда возникших при этом колебаний $A = О,1 м$. Найти период колебаний. Как будут изменяться координата и скорость при колебаниях?
Решение:
Пусть $\vec{u}$ - скорость тела сразу после попадания пули. В горизонтальном направлении X начальный импульс системы «тело-пуля» равен $mv$, а конечный импульс (сразу после попадания пули) - $(M+m)u$. По закону сохранения импульса $mv = (M + m)u \Rightarrow u = \frac{mv}{M+m}$.
После попадания пули механическая энергия системы $W_{1} = \frac{(M+m)u^{2}}{2}$. При отклонении тела на расстояние, равное амплитуде $A$, скорость тела обращается в ноль, и механическая энергия системы $W_{2}$ равна потенциальной энергии упругой деформации, т.е. $W_{2} = \frac{kA^{2}}{2}$, где $k$ - коэффициент жесткости пружины. Так как трения нет, то механическая энергия при колебаниях сохраняется: $W_{1} = W_{2} \Rightarrow \frac{(M+m)u^{2}}{2} = \frac{kA^{2}}{2} \Rightarrow k = \frac{(M+m)u^{2}}{A^{2}} = \frac{(M+m)(mv/(M+m))^{2}}{A^{2}} = \frac{(mv)^{2}}{A^{2}(M+m)}$. Период колебаний $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{M+m}{k}} = \frac{2 \pi}{A} \left ( \frac{M+m}{mv} \right ) = 1,26 с$.
Если начало координатной оси X поместить в точку, где в момент начала колебаний находилось тело, то координата и скорость его будут изменяться по гармоническому закону от времени и выражаться формулами:
$x(t) = A \sin \left ( \frac{2 \pi}{T} t \right )$ и $v(t) = \frac{2 \pi}{T} A \cos \left ( \frac{2 \pi}{T} t \right )$.
Эти результаты были получены в задаче 3173.
