Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3180
2017-04-30 
На вертикально расположенной пружине с коэффициентом жесткости $k$ подвешен груз массой $m$. Грузу сообщают начальную скорость $v$, направленную вертикально вниз. Определить период и амплитуду колебаний груза.
Решение:
В задаче 3177 было показано, что груз в вертикальном направлении совершает гармонические колебания с периодом $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }$. Колебания происходят относительно нового равновесного положения $x_{0} = \frac{mg}{k}$. Найдем амплитуду колебаний.
В положении равновесия груз обладает кинетической энергией $W_{k1} = \frac{mv_{0}^{2}}{2}$ и потенциальной энергией упругой деформации $W_{y1} = \frac{kx_{0}^{2}}{2}$. Нулевое значение потенциальной энергии в поле тяжести выберем на уровне, соответствующем положению равновесия, т.е. $W_{p1} = 0$. Полная механическая энергия тела $W_{1} = W_{k1} + W_{y1} + W_{p1} = \frac{mv_{0}^{2}}{2} + \frac{kx_{0}^{2}}{2}$.
Пусть тело отклонилось от положения равновесия вниз на расстояние, равное амплитуде колебаний, тогда $v = 0$ и кинетическая энергия тела $W_{k1} = 0$. Потенциальная энергия упругой деформации $W_{y2} = \frac{k(x_{0} + A)^{2}}{2}$, а потенциальная энергия в поле тяжести $W_{p2} = - mgA$. Полная механическая энергия $W_{2} = W_{k2} + W{y2} + W_{p2} = \frac{k(x_{0} + A)^{2}}{2} - mgA$.
По закону сохранения энергии
$W_{1} = W_{2} \Rightarrow \frac{mv_{0}^{2}}{2} + \frac{kx_{0}^{2}}{2} = \frac{k(x_{0} + A)^{2}}{2} - mgA \Rightarrow mv_{0}^{2} + kx_{0}^{2} = kx_{0}^{2} + 2kx_{0}A + kA^{2} - 2mgA$.
Учитывая, что $x_{0} = \frac{mg}{k}$, находим $2kx_{0}A = 2 mg A$. В итоге приходим к уравнению $kA^{2} - mv_{0}^{2} = 0 \Rightarrow A = v_{0} \sqrt{ \frac{m}{k}}$.
На вертикально расположенной пружине с коэффициентом жесткости $k$ подвешен груз массой $m$. Грузу сообщают начальную скорость $v$, направленную вертикально вниз. Определить период и амплитуду колебаний груза.
Решение:
В задаче 3177 было показано, что груз в вертикальном направлении совершает гармонические колебания с периодом $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }$. Колебания происходят относительно нового равновесного положения $x_{0} = \frac{mg}{k}$. Найдем амплитуду колебаний.
В положении равновесия груз обладает кинетической энергией $W_{k1} = \frac{mv_{0}^{2}}{2}$ и потенциальной энергией упругой деформации $W_{y1} = \frac{kx_{0}^{2}}{2}$. Нулевое значение потенциальной энергии в поле тяжести выберем на уровне, соответствующем положению равновесия, т.е. $W_{p1} = 0$. Полная механическая энергия тела $W_{1} = W_{k1} + W_{y1} + W_{p1} = \frac{mv_{0}^{2}}{2} + \frac{kx_{0}^{2}}{2}$.
Пусть тело отклонилось от положения равновесия вниз на расстояние, равное амплитуде колебаний, тогда $v = 0$ и кинетическая энергия тела $W_{k1} = 0$. Потенциальная энергия упругой деформации $W_{y2} = \frac{k(x_{0} + A)^{2}}{2}$, а потенциальная энергия в поле тяжести $W_{p2} = - mgA$. Полная механическая энергия $W_{2} = W_{k2} + W{y2} + W_{p2} = \frac{k(x_{0} + A)^{2}}{2} - mgA$.
По закону сохранения энергии
$W_{1} = W_{2} \Rightarrow \frac{mv_{0}^{2}}{2} + \frac{kx_{0}^{2}}{2} = \frac{k(x_{0} + A)^{2}}{2} - mgA \Rightarrow mv_{0}^{2} + kx_{0}^{2} = kx_{0}^{2} + 2kx_{0}A + kA^{2} - 2mgA$.
Учитывая, что $x_{0} = \frac{mg}{k}$, находим $2kx_{0}A = 2 mg A$. В итоге приходим к уравнению $kA^{2} - mv_{0}^{2} = 0 \Rightarrow A = v_{0} \sqrt{ \frac{m}{k}}$.
