Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3177
2017-04-30 
Определить период колебания тела массой $m$, подвешенного вертикально на пружине с коэффициентом жесткости $k$.
Решение:
Пусть груз находится в равновесии. К нему приложены: сила тяжести $m \vec{g}$ и сила упругости пружины $\vec{F}_{y}$, модуль которой равен $kx_{0}$, где $x_{0} > 0$ - модуль деформации пружины. Из условия равновесия получаем уравнение
$mg - kx_{0} = 0 \Rightarrow x_{0} = \frac{mg}{k}$ (*).
Поместим начало координат оси X в точку, соответствующую положению равновесия груза, тогда при колебаниях в любой момент времени деформация пружины равна $x + x_{0}$, где $x$ -текущая координата, и, следовательно, проекция силы упругости на ось X $F_{x} = - k (x + x_{0})$. По второму закону Ньютона получим $m \vec{g} + \vec{F}_{y} = m \vec{a}$, а для проекций на ось X $mg - k(x + x_{0}) = ma_{x}$. Учитывая, что ускорение есть вторая производная от координаты $a_{x} = x^{ \prime}$, получаем
$mg - k(x + x_{0}) = mx^{ \prime \prime} \Rightarrow mg - kx_{0} = mx^{ \prime \prime} + kx$.
В соответствии с равенством (*) $mg - kx_{0} = 0$, поэтому
$mx^{ \prime \prime} + kx = 0 \Rightarrow x^{ \prime} + \frac{k}{m} x = 0 \Rightarrow x^{ \prime} \omega_{0}^{2} x = 0$, где $\omega_{0}^{2} = \frac{k}{m}$.
Таким образом, получили уравнение гармонических колебаний. Следовательно, собственная частота колебаний груза $\omega_{0} = \sqrt{ \frac{k}{m}}$, а период колебаний $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k}}$. Как видно, частота и период колебаний груза на вертикальной пружине оказываются такими же, как и при колебаниях на горизонтальной плоскости.
Определить период колебания тела массой $m$, подвешенного вертикально на пружине с коэффициентом жесткости $k$.
Решение:
Пусть груз находится в равновесии. К нему приложены: сила тяжести $m \vec{g}$ и сила упругости пружины $\vec{F}_{y}$, модуль которой равен $kx_{0}$, где $x_{0} > 0$ - модуль деформации пружины. Из условия равновесия получаем уравнение
$mg - kx_{0} = 0 \Rightarrow x_{0} = \frac{mg}{k}$ (*).
Поместим начало координат оси X в точку, соответствующую положению равновесия груза, тогда при колебаниях в любой момент времени деформация пружины равна $x + x_{0}$, где $x$ -текущая координата, и, следовательно, проекция силы упругости на ось X $F_{x} = - k (x + x_{0})$. По второму закону Ньютона получим $m \vec{g} + \vec{F}_{y} = m \vec{a}$, а для проекций на ось X $mg - k(x + x_{0}) = ma_{x}$. Учитывая, что ускорение есть вторая производная от координаты $a_{x} = x^{ \prime}$, получаем
$mg - k(x + x_{0}) = mx^{ \prime \prime} \Rightarrow mg - kx_{0} = mx^{ \prime \prime} + kx$.
В соответствии с равенством (*) $mg - kx_{0} = 0$, поэтому
$mx^{ \prime \prime} + kx = 0 \Rightarrow x^{ \prime} + \frac{k}{m} x = 0 \Rightarrow x^{ \prime} \omega_{0}^{2} x = 0$, где $\omega_{0}^{2} = \frac{k}{m}$.
Таким образом, получили уравнение гармонических колебаний. Следовательно, собственная частота колебаний груза $\omega_{0} = \sqrt{ \frac{k}{m}}$, а период колебаний $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k}}$. Как видно, частота и период колебаний груза на вертикальной пружине оказываются такими же, как и при колебаниях на горизонтальной плоскости.
