Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3171
2017-04-30 
Сверхпроводящее круглое кольцо радиусом $r$, имеющее индукцией $L$, находится в однородном магнитном поле с индукцией $B$. Первоначально плоскость кольца была параллельна вектору $\vec{B}$, а ток в кольце равен нулю. Какую работу нужно совершить, чтобы повернуть кольцо так, чтобы его плоскость стала перпендикулярна линиям индукции?
Решение:
Кольцо пронизывается как внешним магнитным потоком $\Phi_{вн}$, так и собственным магнитным потоком $\Phi_{с}$, созданным током, протекающим по кольцу. Поэтому полный магнитный поток $\Phi = \Phi_{вн} + \Phi_{с}$. а ЭДС индукции в кольце $\mathcal{E}_{i} = - \Phi^{ \prime} = - \Phi^{ \prime}_{вн} - \Phi_{с}^{ \prime} = - \Phi_{вн}^{ \prime} - Li^{ \prime}$, где $i^{ \prime}$ - скорость изменения тока.
Сопротивление сверхпроводящего кольца $R = 0$, поэтому но закону Ома $\mathcal{E}_{i} = IR = 0$. Отсюда следует, что $- \Phi_{вн}^{ \prime} - L i^{ \prime} = 0 \Rightarrow - \Phi_{вн}^{ \prime} = Li^{ \prime}$. Проинтегрировав это равенство от нуля до $\tau$, где $\tau$ - время поворота кольца, найдем, что $- \int_{0}^{ \tau} \Phi_{вн}^{ \prime} dt = \int_{0}^{ \tau} Li^{ \prime} dt \Rightarrow - \left . \Phi_{вн}(t) \right |_{ \tau}^{0} = L \left . i(t) \right |_{0}^{ \tau} \Rightarrow - ( \Phi_{вн}( \tau)) - \Phi_{вн} (0)) = L(i( \tau) - i(0))$.
В начальный момент времени $i(0) = 0, \Phi_{вн}(0) = BS \cos 90^{ \circ} = 0$. В момент времени $\tau$, когда кольцо перпендикулярно линиям индукции $\Phi_{вн}( \tau) = BS \cos 0^{ \circ} = BS$, где $S = \pi r^{2}$, а ток $i( \tau) = I$. Таким образом, $ - BS = LI \Rightarrow I = - \frac{BS}{I}$.
Начальная энергия магнитного поля кольца $W(0) = 0$, конечное значение этой энергии $W( \tau) = \frac{LI^{2}}{2}$. Увеличение энергии произошло за счет работы внешних сил, поэтому
$\Delta W = W( \tau) - W(0) = A \Rightarrow A = \frac{LI^{2}}{2} = \frac{(BS)^{2}}{2L} = \frac{(B \pi r^{2})^{2}}{2L}$
Сверхпроводящее круглое кольцо радиусом $r$, имеющее индукцией $L$, находится в однородном магнитном поле с индукцией $B$. Первоначально плоскость кольца была параллельна вектору $\vec{B}$, а ток в кольце равен нулю. Какую работу нужно совершить, чтобы повернуть кольцо так, чтобы его плоскость стала перпендикулярна линиям индукции?
Решение:
Кольцо пронизывается как внешним магнитным потоком $\Phi_{вн}$, так и собственным магнитным потоком $\Phi_{с}$, созданным током, протекающим по кольцу. Поэтому полный магнитный поток $\Phi = \Phi_{вн} + \Phi_{с}$. а ЭДС индукции в кольце $\mathcal{E}_{i} = - \Phi^{ \prime} = - \Phi^{ \prime}_{вн} - \Phi_{с}^{ \prime} = - \Phi_{вн}^{ \prime} - Li^{ \prime}$, где $i^{ \prime}$ - скорость изменения тока.
Сопротивление сверхпроводящего кольца $R = 0$, поэтому но закону Ома $\mathcal{E}_{i} = IR = 0$. Отсюда следует, что $- \Phi_{вн}^{ \prime} - L i^{ \prime} = 0 \Rightarrow - \Phi_{вн}^{ \prime} = Li^{ \prime}$. Проинтегрировав это равенство от нуля до $\tau$, где $\tau$ - время поворота кольца, найдем, что $- \int_{0}^{ \tau} \Phi_{вн}^{ \prime} dt = \int_{0}^{ \tau} Li^{ \prime} dt \Rightarrow - \left . \Phi_{вн}(t) \right |_{ \tau}^{0} = L \left . i(t) \right |_{0}^{ \tau} \Rightarrow - ( \Phi_{вн}( \tau)) - \Phi_{вн} (0)) = L(i( \tau) - i(0))$.
В начальный момент времени $i(0) = 0, \Phi_{вн}(0) = BS \cos 90^{ \circ} = 0$. В момент времени $\tau$, когда кольцо перпендикулярно линиям индукции $\Phi_{вн}( \tau) = BS \cos 0^{ \circ} = BS$, где $S = \pi r^{2}$, а ток $i( \tau) = I$. Таким образом, $ - BS = LI \Rightarrow I = - \frac{BS}{I}$.
Начальная энергия магнитного поля кольца $W(0) = 0$, конечное значение этой энергии $W( \tau) = \frac{LI^{2}}{2}$. Увеличение энергии произошло за счет работы внешних сил, поэтому
$\Delta W = W( \tau) - W(0) = A \Rightarrow A = \frac{LI^{2}}{2} = \frac{(BS)^{2}}{2L} = \frac{(B \pi r^{2})^{2}}{2L}$
