Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3170
2017-04-30 
Две катушки индуктивностью $L_{1}$ и $L_{2}$ подключены через ключи $K_{1}$ и $K_{2}$ к источнику с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$. В начальный момент оба ключа разомкнуты. После того, как ключ $K_{1}$ замкнули, и ток через катушку $L_{1}$ достиг значения $I_{0}$, замыкают ключ $K_{2}$. Определить установившийся ток через катушки $L_{1}$ и $L_{2}$ после замыкания ключа $K_{2}$. Сопротивлением катушек пренебречь.
Решение:
За начало отсчета времени принимаем момент времени замыкания ключа $K_{2}$. Время до установки токов обозначим через $\tau$.
После замыкания ключа $K_{2}$ в катушке $L_{1}$ действует ЭДС самоиндукции, равная - $L_{1}i_{1}^{ \prime}(t)$. ЭДС самоиндукции в катушке $L_{2}$ равна - $L_{2}i_{1}^{ \prime}(t)$. Так как сопротивлением катушек и проводов можно пренебречь, то после замыкания ключа $K_{2}$ в любой момент времени разности потенциалов на катушках, равные ЭДС самоиндукции в них, одинаковы. Получаем равенство:
$ - L_{1}i_{1}^{ \prime} (t) = - L_{2} i_{2}^{ \prime}(t) \Rightarrow L_{1}i_{1}^{ \prime}(t) = L_{2} i_{2}^{ \prime}(t)$.
Проинтегрируем это равенство:
$\int_{0}^{ \tau} L_{1}i_{1}^{ \prime}(t)dt = \int_{0}^{ \tau} L_{2} i_{2}^{ \prime}(t)st \Rightarrow L_{1} \int_{0}^{ \tau} i_{1}^{ \prime}(t) dt = L_{2} \int_{0}^{ \tau} i_{2}^{ \prime} (t) dt \Rightarrow L_{1} \left . i_{1}(t) \right |_{0}^{ \tau} = L_{2} \left . i_{2}(t) \right |_{0}^{ \tau} \Rightarrow L_{1}(i_{1}( \tau) - i_{1}(0)) = L_{2}(i_{2}( \tau) - i_{2}(0))$.
Из условия задачи следует, что $i_{1}(0) = I_{0}, i_{2}(0) = 0$. Кроме того, $i_{1}( \tau) = I_{1}$, а $i_{2}( \tau) = I_{2}$, где $I_{1}$ и $I_{2}$ - установившийся в катушках ток. После подстановки получаем $L_{1} (I_{1} - I_{0}) = L_{2}I_{2}$ (*).
Направление токов $I_{1}$ и $I_{2}$ показано на рис.. Разность потенциалов между точками А и В есть $\mathcal{E}$, поэтому общий ток $I = \frac{ \mathcal{E}}{r}$. Используя первое правило Кирхгофа, записываем уравнение $I - I_{1} - I_{2} = 0 \Rightarrow I_{1} + I_{2} =I$ (**).
Выражаем из уравнения (**) $I_{2} = I - I_{1}$, и подставляем в уравнение (*). Получаем, что $L_{1}(I_{1} - I_{0}) = L_{2} (I - I_{1}) \Rightarrow I_{1} = \frac{L_{2}I + L_{1}I_{0}}{L_{1} + L_{2}}$, а $I_{2} = \frac{L_{1}(I - I_{0})}{L_{1} + L_{2}}$, где $I = \frac{ \mathcal{E}}{r}$.
Две катушки индуктивностью $L_{1}$ и $L_{2}$ подключены через ключи $K_{1}$ и $K_{2}$ к источнику с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$. В начальный момент оба ключа разомкнуты. После того, как ключ $K_{1}$ замкнули, и ток через катушку $L_{1}$ достиг значения $I_{0}$, замыкают ключ $K_{2}$. Определить установившийся ток через катушки $L_{1}$ и $L_{2}$ после замыкания ключа $K_{2}$. Сопротивлением катушек пренебречь.
Решение:
За начало отсчета времени принимаем момент времени замыкания ключа $K_{2}$. Время до установки токов обозначим через $\tau$.
После замыкания ключа $K_{2}$ в катушке $L_{1}$ действует ЭДС самоиндукции, равная - $L_{1}i_{1}^{ \prime}(t)$. ЭДС самоиндукции в катушке $L_{2}$ равна - $L_{2}i_{1}^{ \prime}(t)$. Так как сопротивлением катушек и проводов можно пренебречь, то после замыкания ключа $K_{2}$ в любой момент времени разности потенциалов на катушках, равные ЭДС самоиндукции в них, одинаковы. Получаем равенство:
$ - L_{1}i_{1}^{ \prime} (t) = - L_{2} i_{2}^{ \prime}(t) \Rightarrow L_{1}i_{1}^{ \prime}(t) = L_{2} i_{2}^{ \prime}(t)$.
Проинтегрируем это равенство:
$\int_{0}^{ \tau} L_{1}i_{1}^{ \prime}(t)dt = \int_{0}^{ \tau} L_{2} i_{2}^{ \prime}(t)st \Rightarrow L_{1} \int_{0}^{ \tau} i_{1}^{ \prime}(t) dt = L_{2} \int_{0}^{ \tau} i_{2}^{ \prime} (t) dt \Rightarrow L_{1} \left . i_{1}(t) \right |_{0}^{ \tau} = L_{2} \left . i_{2}(t) \right |_{0}^{ \tau} \Rightarrow L_{1}(i_{1}( \tau) - i_{1}(0)) = L_{2}(i_{2}( \tau) - i_{2}(0))$.
Из условия задачи следует, что $i_{1}(0) = I_{0}, i_{2}(0) = 0$. Кроме того, $i_{1}( \tau) = I_{1}$, а $i_{2}( \tau) = I_{2}$, где $I_{1}$ и $I_{2}$ - установившийся в катушках ток. После подстановки получаем $L_{1} (I_{1} - I_{0}) = L_{2}I_{2}$ (*).
Направление токов $I_{1}$ и $I_{2}$ показано на рис.. Разность потенциалов между точками А и В есть $\mathcal{E}$, поэтому общий ток $I = \frac{ \mathcal{E}}{r}$. Используя первое правило Кирхгофа, записываем уравнение $I - I_{1} - I_{2} = 0 \Rightarrow I_{1} + I_{2} =I$ (**).
Выражаем из уравнения (**) $I_{2} = I - I_{1}$, и подставляем в уравнение (*). Получаем, что $L_{1}(I_{1} - I_{0}) = L_{2} (I - I_{1}) \Rightarrow I_{1} = \frac{L_{2}I + L_{1}I_{0}}{L_{1} + L_{2}}$, а $I_{2} = \frac{L_{1}(I - I_{0})}{L_{1} + L_{2}}$, где $I = \frac{ \mathcal{E}}{r}$.
