Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3167
2017-04-30 
В магнитном поле с большой высоты падает кольцо, имеющее диаметр $d$ и сопротивление $R$. Плоскость кольца все время горизонтальна. Найти установившуюся скорость падения кольца, если вертикальная составляющая индукции магнитного поля изменяется с высотой $H$ по закону $B = B_{0} (1 + \alpha H)$, где $a = const$.
Решение:
Пусть $\vec{n}$ - нормаль к плоскости кольца, тогда мандатный поток, созданный вертикальной составляющей магнитного поля, $\Phi = BS = B_{0} (1 + \alpha H) S$, где $S = \frac{ \pi d^{2}}{4}$ - площадь контура ЭДС индукции, возникающая в кольце,
$\mathcal{E}_{i} = - \Phi^{ \prime}(t) = - (B_{0}(1 + \alpha H)S)^{ \prime} = - B_{0}S \alpha H^{ \prime}(t)$.
Производная $H^{ \prime}(t) = - v_{H}$ - это проекция скорости кольца на ось $H$. Таким образом, $\mathcal{E}_{i} = -B_{0} S \alpha ( - v_{H})$. Так как скорость кольца направлена против оси $H$, то $v_{H} = - v$, где $v$ - модуль скорости кольца и $\mathcal{E}_{i} = B_{0}S \alpha v$. По кольцу протекает индукционный ток $I = \frac{ \mathcal{E}_{i}}{R} = \frac{B_{0}S \alpha v}{R}$. В результате в кольце за промежуток времени $\Delta t$ выделяется количество теплоты $Q = I^{2} R \Delta t$
На высоте $H_{1}$ кольцо обладает механической энергией $W_{1} = mgH_{1} + \frac{mv^{2}}{2}$, на высоте $H_{2} - W_{2} = mgH_{2} + \frac{mv^{2}}{2}$ ($v = const$, т.е. скорость кольца не меняется). По закону сохранения энергии
$W_{1} = W_{2} + Q \Rightarrow mgH_{1} = mgH_{2} + I^{2}R \Delta t \Rightarrow mg(H_{1} H_{2}) = \left ( \frac{B_{0}S \alpha v}{R} \right )^{2} R \Delta t \Rightarrow mg(H_{1} - H_{2}) = \frac{(B_{0}S \alpha v)}{R} \Delta t$ (*)
Разность $(H_{1} - H_{2})$ есть расстояние, пройденное кольцом при равномерном движении, поэтому $H_{1} - H_{2} = v \Delta t$, и уравнение (*) примет вид:
$mgv \Delta t = \frac{(B_{0}S \alpha v)^{2}}{R} \Delta t = \Rightarrow mg = \frac{(B_{0}S \alpha)^{2}v}{R} \Rightarrow v = \frac{mgR}{(B_{0}S \alpha)^{2}} = \frac{16mgR}{(B_{0} \pi d^{2} \alpha)^{2}}$.
В магнитном поле с большой высоты падает кольцо, имеющее диаметр $d$ и сопротивление $R$. Плоскость кольца все время горизонтальна. Найти установившуюся скорость падения кольца, если вертикальная составляющая индукции магнитного поля изменяется с высотой $H$ по закону $B = B_{0} (1 + \alpha H)$, где $a = const$.
Решение:
Пусть $\vec{n}$ - нормаль к плоскости кольца, тогда мандатный поток, созданный вертикальной составляющей магнитного поля, $\Phi = BS = B_{0} (1 + \alpha H) S$, где $S = \frac{ \pi d^{2}}{4}$ - площадь контура ЭДС индукции, возникающая в кольце,
$\mathcal{E}_{i} = - \Phi^{ \prime}(t) = - (B_{0}(1 + \alpha H)S)^{ \prime} = - B_{0}S \alpha H^{ \prime}(t)$.
Производная $H^{ \prime}(t) = - v_{H}$ - это проекция скорости кольца на ось $H$. Таким образом, $\mathcal{E}_{i} = -B_{0} S \alpha ( - v_{H})$. Так как скорость кольца направлена против оси $H$, то $v_{H} = - v$, где $v$ - модуль скорости кольца и $\mathcal{E}_{i} = B_{0}S \alpha v$. По кольцу протекает индукционный ток $I = \frac{ \mathcal{E}_{i}}{R} = \frac{B_{0}S \alpha v}{R}$. В результате в кольце за промежуток времени $\Delta t$ выделяется количество теплоты $Q = I^{2} R \Delta t$
На высоте $H_{1}$ кольцо обладает механической энергией $W_{1} = mgH_{1} + \frac{mv^{2}}{2}$, на высоте $H_{2} - W_{2} = mgH_{2} + \frac{mv^{2}}{2}$ ($v = const$, т.е. скорость кольца не меняется). По закону сохранения энергии
$W_{1} = W_{2} + Q \Rightarrow mgH_{1} = mgH_{2} + I^{2}R \Delta t \Rightarrow mg(H_{1} H_{2}) = \left ( \frac{B_{0}S \alpha v}{R} \right )^{2} R \Delta t \Rightarrow mg(H_{1} - H_{2}) = \frac{(B_{0}S \alpha v)}{R} \Delta t$ (*)
Разность $(H_{1} - H_{2})$ есть расстояние, пройденное кольцом при равномерном движении, поэтому $H_{1} - H_{2} = v \Delta t$, и уравнение (*) примет вид:
$mgv \Delta t = \frac{(B_{0}S \alpha v)^{2}}{R} \Delta t = \Rightarrow mg = \frac{(B_{0}S \alpha)^{2}v}{R} \Rightarrow v = \frac{mgR}{(B_{0}S \alpha)^{2}} = \frac{16mgR}{(B_{0} \pi d^{2} \alpha)^{2}}$.
