Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3164
2017-04-30 
Проводник, имеющий форму параболы $y = kx^{2}$, находится в однородном магнитном поле $B$, перпендикулярном плоскости ХY. Из вершины параболы перемещают поступательно и без начальной скорости перемычку с постоянным ускорением $a$. Найти ЭДС индукции в образовавшемся контуре при значении координаты $y = c$.
Решение:
Магнитный поток через замкнутый контур, образованный перемычкой и параболой, $\Phi = BS$, где $S$ - площадь этого контура. Выразим эту площадь как функцию координаты $x$, а следовательно, и времени $t$. Так как перемычка движется с постоянным ускорением, то ее координата $y(t) = \frac{at^{2}}{2}$. С другой стороны, $y = kx^{2}$, следовательно, $\frac{at^{2}}{2} = kx^{2} \Rightarrow x^{2} = \frac{at^{2}}{2k}$, и для $x \geq 0$ получаем, что $x = \sqrt{ \frac{a}{2k}} t$ (*).
Площадь замкнутого контура в любой момент времени найдем как удвоенную разность между площадью прямоугольника OAFD и площадью криволинейной трапеции OAF. Итак,
$S(X) = 2 \left ( xy - \int_{0}^{x} y(x) dx \right ) = 2 \left ( k^{3} - \int_{0}^{x} kx^{2} dx \right ) = 2 \left ( kx^{3} - \left . \frac{kx^{3}}{3} \right |_{0}^{x} \right ) = \frac{4}{3} kx^{3}$, где $x$ - мгновенные значение абсциссы точки пересечения перемычки и параболы. Учитывая, что $x = \sqrt{ \frac{a}{2k}} t$, получаем $S(t) = \frac{4}{3} k \left ( \sqrt{ \frac{a}{2k}} t \right )^{3} = \frac{2}{3 \sqrt{2k}} a^{3/2} t^{3}$. Магнитный поток в зависимости от времени $\Phi(t) = \frac{2}{3 \sqrt{2k}} Ba^{3/2}t^{3}$. ЭДС индукции в контуре
$\mathcal{E}_{i} = - \Phi^{ \prime} (t) = - \left ( \frac{2}{3 \sqrt{2k}} Ba^{3/2}t^{3} \right )^{ \prime} = - \frac{2}{ \sqrt{2k}} Ba^{3/2}t^{2} = - \frac{4}{ \sqrt{2k}} Ba^{1/2} \left ( \frac{at^{2}}{2} \right ) = \frac{ \sqrt{8}}{ \sqrt{k}} Ba^{1/2}y = - By \sqrt{ \frac{8a}{k}}$.
В тот момент времени, когда $y = c$, модуль ЭДС индукции в контуре $| \mathcal{E}_{i}| = Bc \sqrt{ \frac{8a}{k}}$.
Проводник, имеющий форму параболы $y = kx^{2}$, находится в однородном магнитном поле $B$, перпендикулярном плоскости ХY. Из вершины параболы перемещают поступательно и без начальной скорости перемычку с постоянным ускорением $a$. Найти ЭДС индукции в образовавшемся контуре при значении координаты $y = c$.
Решение:
Магнитный поток через замкнутый контур, образованный перемычкой и параболой, $\Phi = BS$, где $S$ - площадь этого контура. Выразим эту площадь как функцию координаты $x$, а следовательно, и времени $t$. Так как перемычка движется с постоянным ускорением, то ее координата $y(t) = \frac{at^{2}}{2}$. С другой стороны, $y = kx^{2}$, следовательно, $\frac{at^{2}}{2} = kx^{2} \Rightarrow x^{2} = \frac{at^{2}}{2k}$, и для $x \geq 0$ получаем, что $x = \sqrt{ \frac{a}{2k}} t$ (*).
Площадь замкнутого контура в любой момент времени найдем как удвоенную разность между площадью прямоугольника OAFD и площадью криволинейной трапеции OAF. Итак,
$S(X) = 2 \left ( xy - \int_{0}^{x} y(x) dx \right ) = 2 \left ( k^{3} - \int_{0}^{x} kx^{2} dx \right ) = 2 \left ( kx^{3} - \left . \frac{kx^{3}}{3} \right |_{0}^{x} \right ) = \frac{4}{3} kx^{3}$, где $x$ - мгновенные значение абсциссы точки пересечения перемычки и параболы. Учитывая, что $x = \sqrt{ \frac{a}{2k}} t$, получаем $S(t) = \frac{4}{3} k \left ( \sqrt{ \frac{a}{2k}} t \right )^{3} = \frac{2}{3 \sqrt{2k}} a^{3/2} t^{3}$. Магнитный поток в зависимости от времени $\Phi(t) = \frac{2}{3 \sqrt{2k}} Ba^{3/2}t^{3}$. ЭДС индукции в контуре
$\mathcal{E}_{i} = - \Phi^{ \prime} (t) = - \left ( \frac{2}{3 \sqrt{2k}} Ba^{3/2}t^{3} \right )^{ \prime} = - \frac{2}{ \sqrt{2k}} Ba^{3/2}t^{2} = - \frac{4}{ \sqrt{2k}} Ba^{1/2} \left ( \frac{at^{2}}{2} \right ) = \frac{ \sqrt{8}}{ \sqrt{k}} Ba^{1/2}y = - By \sqrt{ \frac{8a}{k}}$.
В тот момент времени, когда $y = c$, модуль ЭДС индукции в контуре $| \mathcal{E}_{i}| = Bc \sqrt{ \frac{8a}{k}}$.
