Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3162
2017-04-30 
Квадратная рамка со стороной $a$ помещается в однородное магнитное поле, перпендикулярное ее плоскости. При этом по рамке протекает заряд $Q$. Какой заряд протечет по рамке, если при неизменном поле ей придать форму двух равных квадратов?
Решение:
Пусть магнитное поле $\vec{B}$ направлено от нас. Выберем нормаль $\vec{n}$, направленную к нам из плоскости чертежа. По условию задачи вначале рамка находится вне магнитного поля, поэтому магнитный поток $\Phi_{1} = 0$. Когда рамку поместили в магнитное поле, магнитный поток $\Phi_{2} = BS \cos 180^{ \circ} = - BS$, где $S = a^{2}$. Воспользовавшись формулой (*), получим, что $q = - \frac{ \Delta \Phi}{R} \Rightarrow Q = - \frac{(-BS) - 0}{R} = \frac{BS}{R}$, где $R$ — сопротивление контура.
Далее в магнитном поле контур I деформируется в контур II. Отметим, что площадь контура II становится равной $S_{1} = 2 \cdot \left ( \frac{a}{2} \right )^{2} = \frac{a^{2}}{2}$, т.е. уменьшается. Так как общая длина контуров I и II не изменилась, то сопротивление контура II остается равным сопротивлению контура I. Теперь начальный магнитный поток через контур I равен $BS \coss 180^{ \circ} = - BS$. Конечный магнитный поток (поток через контур II) равен $- BS_{1}$. Изменение магнитного потока
$\Delta \Phi^{ \prime} = - BS_{1} - ( - BS) = BS - BS_{1} = BS \left ( 1 - \frac{S_{1}}{S} \right )$.
Снова воспользовавшись формулой (*), найдем заряд, протекающий по контуру при его деформации в магнитном поле $Q^{ \prime} = - \frac{ \Delta \Phi^{ \prime}}{R} = - \frac{BS}{R} \left ( 1 - \frac{S_{1}}{S} \right )$. Учитывая, что $\frac{BS}{R} = Q$ и $\frac{S_{1}}{S} = \frac{1}{2}$, получаем $Q^{ \prime} = - \frac{1}{2} Q$. Минус указывает на то, что индукционный ток, переносящий заряд $Q^{ \prime}$, протекает в направлении, противоположном индукционному току, переносившему заряд $Q$.
По условию задачи контур III получают из контура I посредством деформации его в два квадрата со стороной $\frac{a}{2}$ и площадью $S^{ \prime} = \left ( \frac{a}{2} \right )^{2}$ каждый и последующего поворота плоскости верхнего квадрата на $180^{ \circ}$. Это значит, что нормаль к верхнему квадрату также поворачивается на $180^{ \circ}$, и угол между ней и вектором $\vec{B}$ равен нулю. В этом случае начальный магнитный поток (поток через контур I, расположенный в магнитном поле) равен - $BS$. Конечный мапштньш поток (пронизывающий контур III) равен сумме потоков через верхний и нижний квадраты:
$BS^{ \prime} \cos 180^{ \circ} + BS^{ \prime} \cos 0^{ \circ} = - BS^{ \prime} + BS^{ \prime} = 0$.
Изменение магнитного потока в этом случае $\Delta \Phi^{ \prime \prime} = 0 - ( - BS) = BS$. Заряд, протекаюпшй по контуру:
$Q^{ \prime \prime} = - \frac{ \Delta \Phi^{ \prime \prime}}{R} = - \frac{BS}{R} = - Q$.
Квадратная рамка со стороной $a$ помещается в однородное магнитное поле, перпендикулярное ее плоскости. При этом по рамке протекает заряд $Q$. Какой заряд протечет по рамке, если при неизменном поле ей придать форму двух равных квадратов?
Решение:
Пусть магнитное поле $\vec{B}$ направлено от нас. Выберем нормаль $\vec{n}$, направленную к нам из плоскости чертежа. По условию задачи вначале рамка находится вне магнитного поля, поэтому магнитный поток $\Phi_{1} = 0$. Когда рамку поместили в магнитное поле, магнитный поток $\Phi_{2} = BS \cos 180^{ \circ} = - BS$, где $S = a^{2}$. Воспользовавшись формулой (*), получим, что $q = - \frac{ \Delta \Phi}{R} \Rightarrow Q = - \frac{(-BS) - 0}{R} = \frac{BS}{R}$, где $R$ — сопротивление контура.
Далее в магнитном поле контур I деформируется в контур II. Отметим, что площадь контура II становится равной $S_{1} = 2 \cdot \left ( \frac{a}{2} \right )^{2} = \frac{a^{2}}{2}$, т.е. уменьшается. Так как общая длина контуров I и II не изменилась, то сопротивление контура II остается равным сопротивлению контура I. Теперь начальный магнитный поток через контур I равен $BS \coss 180^{ \circ} = - BS$. Конечный магнитный поток (поток через контур II) равен $- BS_{1}$. Изменение магнитного потока
$\Delta \Phi^{ \prime} = - BS_{1} - ( - BS) = BS - BS_{1} = BS \left ( 1 - \frac{S_{1}}{S} \right )$.
Снова воспользовавшись формулой (*), найдем заряд, протекающий по контуру при его деформации в магнитном поле $Q^{ \prime} = - \frac{ \Delta \Phi^{ \prime}}{R} = - \frac{BS}{R} \left ( 1 - \frac{S_{1}}{S} \right )$. Учитывая, что $\frac{BS}{R} = Q$ и $\frac{S_{1}}{S} = \frac{1}{2}$, получаем $Q^{ \prime} = - \frac{1}{2} Q$. Минус указывает на то, что индукционный ток, переносящий заряд $Q^{ \prime}$, протекает в направлении, противоположном индукционному току, переносившему заряд $Q$.
По условию задачи контур III получают из контура I посредством деформации его в два квадрата со стороной $\frac{a}{2}$ и площадью $S^{ \prime} = \left ( \frac{a}{2} \right )^{2}$ каждый и последующего поворота плоскости верхнего квадрата на $180^{ \circ}$. Это значит, что нормаль к верхнему квадрату также поворачивается на $180^{ \circ}$, и угол между ней и вектором $\vec{B}$ равен нулю. В этом случае начальный магнитный поток (поток через контур I, расположенный в магнитном поле) равен - $BS$. Конечный мапштньш поток (пронизывающий контур III) равен сумме потоков через верхний и нижний квадраты:
$BS^{ \prime} \cos 180^{ \circ} + BS^{ \prime} \cos 0^{ \circ} = - BS^{ \prime} + BS^{ \prime} = 0$.
Изменение магнитного потока в этом случае $\Delta \Phi^{ \prime \prime} = 0 - ( - BS) = BS$. Заряд, протекаюпшй по контуру:
$Q^{ \prime \prime} = - \frac{ \Delta \Phi^{ \prime \prime}}{R} = - \frac{BS}{R} = - Q$.
