Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3154
2017-04-30 
Частица массой $m = 6,65 \cdot 10^{-27} кг$ и зарядом $q = 3,2 \cdot 10^{-19} Кл$ сначала ускоряется в электростатическом поле, проходя ускоряющую разность потенциалов $u = 2500 В$. Начальная скорость частицы равна нулю. Затем частица влетает в однородное магнитное поле с индукцией $B = 210 Тл$, перпендикулярное вектору скорости. Найти изменение импульса частицы за время $t = \frac{ \pi}{2} \cdot 1,039 \cdot 10^{-3} с$ после влета в магнитное поле. Определить величину центростремительного и тангенциального ускорения частицы в этот и последующие моменты времени.
Решение:
Пусть в начальный момент времени заряженная частица находится в точке А электростатического поля, потенциал которой равен $\phi_{A}$. Тогда энергия частицы - потенциальная энергия в электростатическом поле $W_{A} = W_{pA} = q \phi_{A}$. В точке В энергия частицы состоит из потенциальной $W_{pB} = q \phi_{B}$ и кинетической $W_{kB} = \frac{mv^{2}}{2}$, т.е. $W_{B} = q \phi_{B} + \frac{mv^{2}}{2}$. По закону сохранения энергии $W_{A} = W_{B} \Rightarrow q \phi_{A} = q \phi_{B} + \frac{mv^{2}}{2} \Rightarrow q( \phi_{A} - \phi_{B}) = \frac{mv^{2}}{2}$.
Но $\phi_{A} - \phi_{B} = u \Rightarrow qu = \frac{mv^{2}}{2}$, и скорость частицы при ее влете в магнитное поле $v = \sqrt{ \frac{2qu}{m}} = 4,9 \cdot 10^{5} м/с$. В магнитном поле частица под действием силы Лоренца движется по окружности с постоянной по модулю скоростью $v$ (рис.). По второму закону Ньютона $F_{л} = m \cdot a_{n}$, где сила Лоренца $F_{л}= qvB$, а центростремительное ускорение частицы $a_{n} = \frac{v^{2}}{R}$. После подстановки получаем $qvB = m \frac{v^{2}}{R}$, откуда радиус окружности $R = \frac{mv}{qB} = 510 м$. Период обращения частицы по окружности $T = \frac{2 \pi R}{v} = \frac{2 \pi m}{qB} = 2 \pi \cdot 1,039 \cdot 10^{-3} с$.
Отношение времени движения $t$ к периоду
$\frac{t}{T} = \frac{ \left ( \frac{ \pi}{2} \cdot 1,039 \cdot 10^{-3} \right ) }{ 2 \pi \cdot 1,039 \cdot 10^{-3}} = \frac{1}{4} \Rightarrow t = \frac{1}{4} T$, т.е. за указанное время частица проходит 1/4 окружности, а ее вектор скорости поворачивается на $90^{ \circ}$ (рис.).
Изменение импульса $\Delta \vec{p} = \vec{p}_{2} - \vec{p}_{1} = \vec{p}_{2} + (- \vec{p}_{1})$, где $p_{1} = p_{2} = mv$.
Модуль вектора $\Delta p = \sqrt{2} p_{1} = \sqrt{2} p_{2} = 4,6 \cdot 10^{21} кгм/с$. Модуль центростремительного ускорения в любой точке окружности
$a_{n} = \frac{v^{2}}{R} = 4,7 \cdot 10^{8} м/с^{2}$.
Так как сила Лоренца, действующая на частицу, направлена по радиусу окружности к центру, то тангенциальное ускорение в любой точке $a_{ \tau} = 0$.
Частица массой $m = 6,65 \cdot 10^{-27} кг$ и зарядом $q = 3,2 \cdot 10^{-19} Кл$ сначала ускоряется в электростатическом поле, проходя ускоряющую разность потенциалов $u = 2500 В$. Начальная скорость частицы равна нулю. Затем частица влетает в однородное магнитное поле с индукцией $B = 210 Тл$, перпендикулярное вектору скорости. Найти изменение импульса частицы за время $t = \frac{ \pi}{2} \cdot 1,039 \cdot 10^{-3} с$ после влета в магнитное поле. Определить величину центростремительного и тангенциального ускорения частицы в этот и последующие моменты времени.
Решение:
Пусть в начальный момент времени заряженная частица находится в точке А электростатического поля, потенциал которой равен $\phi_{A}$. Тогда энергия частицы - потенциальная энергия в электростатическом поле $W_{A} = W_{pA} = q \phi_{A}$. В точке В энергия частицы состоит из потенциальной $W_{pB} = q \phi_{B}$ и кинетической $W_{kB} = \frac{mv^{2}}{2}$, т.е. $W_{B} = q \phi_{B} + \frac{mv^{2}}{2}$. По закону сохранения энергии $W_{A} = W_{B} \Rightarrow q \phi_{A} = q \phi_{B} + \frac{mv^{2}}{2} \Rightarrow q( \phi_{A} - \phi_{B}) = \frac{mv^{2}}{2}$.
Но $\phi_{A} - \phi_{B} = u \Rightarrow qu = \frac{mv^{2}}{2}$, и скорость частицы при ее влете в магнитное поле $v = \sqrt{ \frac{2qu}{m}} = 4,9 \cdot 10^{5} м/с$. В магнитном поле частица под действием силы Лоренца движется по окружности с постоянной по модулю скоростью $v$ (рис.). По второму закону Ньютона $F_{л} = m \cdot a_{n}$, где сила Лоренца $F_{л}= qvB$, а центростремительное ускорение частицы $a_{n} = \frac{v^{2}}{R}$. После подстановки получаем $qvB = m \frac{v^{2}}{R}$, откуда радиус окружности $R = \frac{mv}{qB} = 510 м$. Период обращения частицы по окружности $T = \frac{2 \pi R}{v} = \frac{2 \pi m}{qB} = 2 \pi \cdot 1,039 \cdot 10^{-3} с$.
Отношение времени движения $t$ к периоду
$\frac{t}{T} = \frac{ \left ( \frac{ \pi}{2} \cdot 1,039 \cdot 10^{-3} \right ) }{ 2 \pi \cdot 1,039 \cdot 10^{-3}} = \frac{1}{4} \Rightarrow t = \frac{1}{4} T$, т.е. за указанное время частица проходит 1/4 окружности, а ее вектор скорости поворачивается на $90^{ \circ}$ (рис.).
Изменение импульса $\Delta \vec{p} = \vec{p}_{2} - \vec{p}_{1} = \vec{p}_{2} + (- \vec{p}_{1})$, где $p_{1} = p_{2} = mv$.
Модуль вектора $\Delta p = \sqrt{2} p_{1} = \sqrt{2} p_{2} = 4,6 \cdot 10^{21} кгм/с$. Модуль центростремительного ускорения в любой точке окружности
$a_{n} = \frac{v^{2}}{R} = 4,7 \cdot 10^{8} м/с^{2}$.
Так как сила Лоренца, действующая на частицу, направлена по радиусу окружности к центру, то тангенциальное ускорение в любой точке $a_{ \tau} = 0$.
