ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-05-31   
Расстояние между экраном и источником света равно $L$. Линза дает четкое изображение источника при двух положениях, расстояние между которыми равно $l$. Найдите фокусное расстояние линзы.


Решение:


Обозначим расстояния от линзы до источника при первом и втором положениях линзы как $a_{1}$ и $a_{2}$; расстояния от линзы до экрана - $b_{1}$ и $b_{2}$ соответственно.
По условию задачи
Применим формулу линзы к каждому из двух ее положений:
$a_{1}+b_{1}=a_{2}+b_{2}=L$, (1)
$a_{2}-a_{1}=b_{1}-b_{2}=l$. (2)
Применим формулу линзы к каждому из двух ее положений:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{b_{1}}$, (3)
$\frac{1}{f} = \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{b_{2}}$. (4)
Приравнивая левые части формул (3) и (4), получаем
$\frac{a_{1}+b_{1}}{a_{1}b_{1}}=\frac{a_{2}+b_{2}}{a_{2}b_{2}}$.
Отсюда в силу (1)
$a_{1}b_{1}=a_{2}b_{2}$.
Исключая из последнего равенства с помощью (1) и (2) неизвестные величины $a_{1},a_{2}$ и $b_{2}$, имеем
$b_{1}(L-b_{1})=(b_{1}-l)(L+l-b_{1})$,
откуда следует, что
$b_{1}=\frac{L+l}{2}$. (5)
Теперь из (1)
$a_{1}=L-b_{1}=\frac{L-l}{2}$. (6)
Подставляя левые части равенств (5) и (6) в формулу линзы (3), находим искомое фокусное расстояние
$f=\frac{a_{1}b_{1}}{a_{1}+b_{1}}=\frac{L^{2}+l^{2}}{4L}$.