2014-05-31
Имеется система из $N$ параллельных плоских прозрачных пластин. Если свет интенсивностью $J$ падает по нормали на одну из пластин, то часть интенсивностью $\alpha J$ отражается, а часть интенсивностью $(1-\alpha)J$ проходит через пластину. Найдите интенсивность света, прошедшего через $N$ пластин.
Решение:
Пусть для определенности свет падает на систему $N$ пластин слева. Пусть - $J_{k}$ интенсивность света, падающего на $k$-ю пластину слева, a $J^{\prime}_{k}$ -интенсивность света, уходящего от $k$ и пластины налево.
Тогда на $k$-ю пластину падает свет интенсивностью $J^{\prime}_{k+1}$ справа от этой же $k$-й пластины направо уходит свет интенсивности $J_{k+1}$.
По условию задачи
$J^{\prime}= \alpha J_{k} + (1- \alpha ) J^{\prime}_{k+1}$. (1)
На первую пластину падает слева свет с интенсивностью $J_{1}$, и уходит налево свет с интенсивностью $J^{\prime}_{1} = \alpha_{N} J_{1}$, где $\alpha_{N}$ коэффициент отражения от $N$ пластин. Из-за отсутствия поглощения суммарный поток, проходящий через первую пластину, проходит и через все остальные:
$J_{1}-J_{1}^{\prime} = (1 - \alpha_{N}) J_{1} = J_{k}-J_{k}^{\prime}=J_{k+1}-J_{k+1}^{\prime}$. (2)
Подставляя $J_{k}$, полученное из равенства (2), в формулу (1) имеем
$J^{\prime}_{k+1}=J^{\prime}_{k}- \alpha J_{1} \frac{1 - \alpha_{N}}{1- \alpha}$. (3)
Написав равенство (3) $k$ раз, получим
$ J^{\prime}_{k+1}=J^{\prime}_{1}- k \alpha J_{1} \frac{1 - \alpha_{N}}{1- \alpha} = \alpha_{N} J_{1} – k \alpha J_{1} \frac{1- \alpha_{N}}{1- \alpha}$. (4)
Учтем, что на последнюю пластину свет справа не падает: $J_{N+1}^{\prime}= 0$, а направо уходит свет интенсивностью $J_{N}=J_{1}(1-\alpha_{N})$. При этом условии из формулы (4) получаем искомую величину относительной интенсивности света, прошедшего через $N$ пластин:
$1-\alpha_{N} = \frac{1- \alpha}{1+(N-1) \alpha}$.