Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3118
2017-04-30 
По кольцу радиусом $R$ равномерно распределен заряд $Q$. Определить напряженность и потенциал в центре кольца, а также в точке, отстоящей на расстоянии $h$ от центра кольца по перпендикуляру к его плоскости.
Решение:
Будем считать, что $Q > 0$. Заряд, распределенный по кольцу, нельзя назвать точечным на небольших расстояниях от кольца. Разобьем заряд $Q$ на точечные заряды $q = \frac{Q}{N}$, где $N$ - число этих зарядов. Каждый точечный заряд создает в центре кольца напряженность, модуль которой $E = k \frac{q}{R^{2}}$.
1. Два точечных заряда, расположенных на концах одного диаметра, создают в центре кольца напряженность $\vec{E} = \vec{E}_{1} + \vec{E}_{2} = 0$ (рис.). Применив аналогичный прием ко всем точечным зарядам, находящимся на кольце, находим, что напряженность в центре кольца $\vec{E}_{O} = 0$.
Каждый заряд $q$ в центре кольца создает потенциал $\phi = k \frac{q}{R}$, по принципу суперпозиции $\phi_{O} = N \phi = N \cdot k \frac{q}{R} = k \frac{Q}{R}$.
2. Пусть $AO = h$ (рис.). В точке А диаметрально противоположные точечные заряды создают напряженности $E_{1} = E_{2} = k \frac{q}{AB^{2}} = k \frac{q}{(R^{2} + h^{2})}, \vec{E}_{P} = \vec{E}_{1} + \vec{E}_{2}$.
Четырехугольник АСDF - ромб, поэтому $\angle CAD = \angle DAF = \angle BAO = \angle KAO$, т.е. вектор $\vec{E}_{p}$ направлен вдоль АО.
$E_{p} = 2AO_{1} = 2 E_{1} \cos \angle CAD$.
Из $\Delta BAO: \cos \angle BAO = \cos \angle CAD = \frac{AO}{AB} = \frac{h}{ \sqrt{R^{2} + h^{2}}}$. Поэтому $E_{p} = 2E_{1} \cdot \frac{h}{ \sqrt{R^{2} + h^{2}}}$. Следующая пара точечных зарядов дает такой же вектор $\vec{E}_{p}$, и так далее. В точке А получим $\frac{N}{2}$ векторов $\vec{E}_{p}$.
Следовательно, $E_{A} = \frac{N}{2} \cdot E_{p} = \frac{N}{2} \cdot 2E_{1} \cdot \frac{h}{ \sqrt{R^{2} + h^{2}}} = N \cdot k \frac{q}{R^{2} + h^{2}} \cdot \frac{h}{ \sqrt{R^{2} + h^{2}}} = k \frac{Qh}{ (R^{2} + h^{2})^{3/2}}$.
Каждый заряд $q$ создает в точке А потенциал $\phi = k \frac{q}{ \sqrt{R^{2} + h^{2}}}$.
Потенциал точки А: $\phi_{A} = N \phi = k \frac{Q}{ \sqrt{ R^{2} + h^{2}}}$.
По кольцу радиусом $R$ равномерно распределен заряд $Q$. Определить напряженность и потенциал в центре кольца, а также в точке, отстоящей на расстоянии $h$ от центра кольца по перпендикуляру к его плоскости.
Решение:
Будем считать, что $Q > 0$. Заряд, распределенный по кольцу, нельзя назвать точечным на небольших расстояниях от кольца. Разобьем заряд $Q$ на точечные заряды $q = \frac{Q}{N}$, где $N$ - число этих зарядов. Каждый точечный заряд создает в центре кольца напряженность, модуль которой $E = k \frac{q}{R^{2}}$.
1. Два точечных заряда, расположенных на концах одного диаметра, создают в центре кольца напряженность $\vec{E} = \vec{E}_{1} + \vec{E}_{2} = 0$ (рис.). Применив аналогичный прием ко всем точечным зарядам, находящимся на кольце, находим, что напряженность в центре кольца $\vec{E}_{O} = 0$.
Каждый заряд $q$ в центре кольца создает потенциал $\phi = k \frac{q}{R}$, по принципу суперпозиции $\phi_{O} = N \phi = N \cdot k \frac{q}{R} = k \frac{Q}{R}$.
2. Пусть $AO = h$ (рис.). В точке А диаметрально противоположные точечные заряды создают напряженности $E_{1} = E_{2} = k \frac{q}{AB^{2}} = k \frac{q}{(R^{2} + h^{2})}, \vec{E}_{P} = \vec{E}_{1} + \vec{E}_{2}$.
Четырехугольник АСDF - ромб, поэтому $\angle CAD = \angle DAF = \angle BAO = \angle KAO$, т.е. вектор $\vec{E}_{p}$ направлен вдоль АО.
$E_{p} = 2AO_{1} = 2 E_{1} \cos \angle CAD$.
Из $\Delta BAO: \cos \angle BAO = \cos \angle CAD = \frac{AO}{AB} = \frac{h}{ \sqrt{R^{2} + h^{2}}}$. Поэтому $E_{p} = 2E_{1} \cdot \frac{h}{ \sqrt{R^{2} + h^{2}}}$. Следующая пара точечных зарядов дает такой же вектор $\vec{E}_{p}$, и так далее. В точке А получим $\frac{N}{2}$ векторов $\vec{E}_{p}$.
Следовательно, $E_{A} = \frac{N}{2} \cdot E_{p} = \frac{N}{2} \cdot 2E_{1} \cdot \frac{h}{ \sqrt{R^{2} + h^{2}}} = N \cdot k \frac{q}{R^{2} + h^{2}} \cdot \frac{h}{ \sqrt{R^{2} + h^{2}}} = k \frac{Qh}{ (R^{2} + h^{2})^{3/2}}$.
Каждый заряд $q$ создает в точке А потенциал $\phi = k \frac{q}{ \sqrt{R^{2} + h^{2}}}$.
Потенциал точки А: $\phi_{A} = N \phi = k \frac{Q}{ \sqrt{ R^{2} + h^{2}}}$.
