Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3114
2017-04-30 
Два одинаковых заряженных шарика, подвешенных на нитях одинаковой длины, опускаются в керосин Какова должна быть плотность шариков, чтобы угол расхождения нитей в воздухе и керосине был одинаков? Диэлектрическая проницаемость керосина $\epsilon = 2$, плотность керосина $\rho = 800 кг/м^{3}$.
Решение:
Так как шарики имеют одинаковую массу, то они отклоняются симметрично относительно вертикали на угол $\alpha$. К каждому шарику приложены силы: тяжести $m \vec{g}$, натяжения нити $\vec{T}$ и $\vec{F}_{K}$ - кулоновская сила отталкивания (рис.). Записав условия равновесия шарика на горизонтальное X и вертикальное Y направления, получим систему уравнений:
$\begin{cases} F_{K} - T \sin \alpha = 0, \\ T \cos \alpha - mg = 0, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} T \sin \alpha = F_{K}, \\ T \cos \alpha = mg, \end{cases} \Rightarrow tg \alpha = \frac{F_{K}}{mg}$ (1)
По условию задачи при погружении в керосин угол расхождения не изменился, поэтому не изменилось и расстояние между шариками, а это значит, что кулоновская сила уменьшилась в $\epsilon$ раз. Натяжение нити уменьшится и станет равным $T^{ \prime}$, так как в керосине на шарик начинает действовать выталкивающая сила $\vec{F}_{A}$ (рис.). Записав условия равновесия на те же оси, получим:
$\begin{cases} \frac{F_{K}}{ \epsilon} - T^{ \prime} \sin \alpha = 0, \\ F_{A} + T^{ \prime} \cos \alpha - mg = 0, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} T^{ \prime} \sin \alpha = \frac{F_{K}}{ \epsilon}, \\ T^{ \prime} \cos \alpha = mg - F_{A}, \Rightarrow tg \alpha = \frac{F_{K}}{ \epsilon (mg - F_{a})} \end{cases}$ (2)
Приравняв правые части (1) и (2), получим:
$\frac{K_{K}}{mg} = \frac{F_{K}}{ \epsilon ( mg - F_{A})} \Leftrightarrow mg = \epsilon ( mg - F_{A})$. Обозначив через $\rho_{x}$ плотность шарика, найдем $m = \rho_{x} V$, где $V$ - объем шарика, $F_{A} = \rho Vg$, где $\rho$ - плотность керосина. Поэтому
$\rho_{x} Vg = \epsilon ( \rho_{x} Vg - \rho Vg) \Rightarrow \rho_{x} = \frac{ \epsilon \rho}{ \epsilon - 1} \Rightarrow \rho_{x} = 1600 кг/м^{3}$.
Два одинаковых заряженных шарика, подвешенных на нитях одинаковой длины, опускаются в керосин Какова должна быть плотность шариков, чтобы угол расхождения нитей в воздухе и керосине был одинаков? Диэлектрическая проницаемость керосина $\epsilon = 2$, плотность керосина $\rho = 800 кг/м^{3}$.
Решение:
Так как шарики имеют одинаковую массу, то они отклоняются симметрично относительно вертикали на угол $\alpha$. К каждому шарику приложены силы: тяжести $m \vec{g}$, натяжения нити $\vec{T}$ и $\vec{F}_{K}$ - кулоновская сила отталкивания (рис.). Записав условия равновесия шарика на горизонтальное X и вертикальное Y направления, получим систему уравнений:
$\begin{cases} F_{K} - T \sin \alpha = 0, \\ T \cos \alpha - mg = 0, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} T \sin \alpha = F_{K}, \\ T \cos \alpha = mg, \end{cases} \Rightarrow tg \alpha = \frac{F_{K}}{mg}$ (1)
По условию задачи при погружении в керосин угол расхождения не изменился, поэтому не изменилось и расстояние между шариками, а это значит, что кулоновская сила уменьшилась в $\epsilon$ раз. Натяжение нити уменьшится и станет равным $T^{ \prime}$, так как в керосине на шарик начинает действовать выталкивающая сила $\vec{F}_{A}$ (рис.). Записав условия равновесия на те же оси, получим:
$\begin{cases} \frac{F_{K}}{ \epsilon} - T^{ \prime} \sin \alpha = 0, \\ F_{A} + T^{ \prime} \cos \alpha - mg = 0, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} T^{ \prime} \sin \alpha = \frac{F_{K}}{ \epsilon}, \\ T^{ \prime} \cos \alpha = mg - F_{A}, \Rightarrow tg \alpha = \frac{F_{K}}{ \epsilon (mg - F_{a})} \end{cases}$ (2)
Приравняв правые части (1) и (2), получим:
$\frac{K_{K}}{mg} = \frac{F_{K}}{ \epsilon ( mg - F_{A})} \Leftrightarrow mg = \epsilon ( mg - F_{A})$. Обозначив через $\rho_{x}$ плотность шарика, найдем $m = \rho_{x} V$, где $V$ - объем шарика, $F_{A} = \rho Vg$, где $\rho$ - плотность керосина. Поэтому
$\rho_{x} Vg = \epsilon ( \rho_{x} Vg - \rho Vg) \Rightarrow \rho_{x} = \frac{ \epsilon \rho}{ \epsilon - 1} \Rightarrow \rho_{x} = 1600 кг/м^{3}$.
