Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3113
2017-04-30 
Четыре положительных заряда $q,Q,q,Q$ связаны четырьмя нитями, как показано на рис. Определить углы между нитями.
Решение:
Так как нити имеют одинаковую длину $l$, то заряды расположены в вершинах ромба, утлы которого $\alpha$ и $\beta$. По теореме косинусов меньшая диагональ ромба
$d_{1}^{2} = 2l^{2} - 2l^{2} \cos \alpha = 2l^{2} (1 - \cos \alpha) = 4 \sin^{2} \frac{ \alpha}{2}$.
Аналогично выражаем большую диагональ
$d_{2}^{2} = 2l^{2} - 2l^{2} \cos \beta = 4 \sin^{2} \frac{ \beta}{2}$.
На заряд $q$ действуют кулоновские силы $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$ со стороны зарядов $Q$. Модули этих сил одинаковы, по закону Кулона $F_{1} = F_{2} = F_{K} = k \frac{|q||Q|}{l^{2}} = k \frac{qQ}{l^{2}}$ ($|q| = q, |Q| = Q)$, так как по условию $Q > 0$ и $q >0$). Кроме того, на заряд $q$ действует сила отталкивания $\vec{F}_{3}$ со стороны другого заряда $q$, причем $F_{3} = k \frac{q^{2}}{d_{1}^{2}} = k \frac{q^{2}}{4 \sin^{2} \alpha /2}$. И наконец, к заряду $q$ приложены силы натяжения нитей $\vec{T}_{1}$ и $\vec{T}_{2}$, модули которых равны $T$, что является следствием симметрии рассматриваемой системы. Спроецировав указанные силы на меньшую диагональ и учитывая, что заряд $q$ находится в равновесии, получаем уравнение:
$2F_{K} \cos \frac{ \beta}{2} + F_{3} - 2T \cos \frac{ \beta}{2} = 0 \Rightarrow F_{3} = 2 (T - F_{K}) \cos \frac{ \beta}{2}$ (1)
К заряду $Q$ со стороны зарядов $q$ приложены: две одинаковые по модулю силы $F_{K} = k \frac{qQ}{l^{2}}$, две силы натяжения нити, модули которых равны $T$, и сила отталкивания $\vec{F}_{4}$ со стороны другого заряда, $Q$ причем $F_{4} = k \frac{Q^{2}}{d_{2}^{2}} = k \frac{Q^{2}}{4 \sin^{2} \beta/2}$. Спроецировав эти силы на большую диагональ, получим.
$2 F_{K} \cos \frac{ \alpha}{2} + F_{4} - 2T \cos \frac{ \alpha}{2} = 0 \Rightarrow F_{4} = 2(T - F_{K}) \cos \frac{ \alpha}{2}$ (2).
Разделим уравнение (1) на уравнение (2) тогда $\frac{F_{3}}{F_{4}} = \frac{ \cos \beta/2}{ \cos \alpha/2}$. Подставляя значення $F_{3}$ и $F_{4}$, получаем $\frac{q^{2} \sin^{2} \beta/2}{ Q^{2} \sin^{2} \alpha/2} = \frac{ \cos \beta/2}{ \cos \alpha/2}$. Так как $\beta + \alpha = \pi$, то $\frac{ \beta}{2} = \frac{ \pi}{2} - \frac{ \alpha}{2}$ и $\cos \beta /2 = \cos ( \pi/2 - \alpha /2) = \sin \alpha/2$, а $\sin^{2} \beta/2 = \cos^{2} \alpha/2$. Тогда
$\frac{q^{2} \cos^{2} \alpha /2}{ Q^{2} \sin^{2} \alpha/2} = \frac{ \sin \alpha/2}{ \cos \alpha/2} \Rightarrow \left ( \frac{q}{Q} \right )^{2} = tg^{3} \alpha/2 \Rightarrow tg \alpha/2 = \sqrt[3]{ \left ( \frac{q}{Q} \right )^{2} } = \left ( \frac{q}{Q} \right )^{2/3} \Rightarrow \alpha/2 artcg \left ( \frac{q}{Q} \right )^{2/3} \Rightarrow \alpha = 2 arctg \left ( \frac{q}{Q} \right )^{2/3}$ и $\beta = \pi - \alpha$.
Четыре положительных заряда $q,Q,q,Q$ связаны четырьмя нитями, как показано на рис. Определить углы между нитями.
Решение:
Так как нити имеют одинаковую длину $l$, то заряды расположены в вершинах ромба, утлы которого $\alpha$ и $\beta$. По теореме косинусов меньшая диагональ ромба
$d_{1}^{2} = 2l^{2} - 2l^{2} \cos \alpha = 2l^{2} (1 - \cos \alpha) = 4 \sin^{2} \frac{ \alpha}{2}$.
Аналогично выражаем большую диагональ
$d_{2}^{2} = 2l^{2} - 2l^{2} \cos \beta = 4 \sin^{2} \frac{ \beta}{2}$.
На заряд $q$ действуют кулоновские силы $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$ со стороны зарядов $Q$. Модули этих сил одинаковы, по закону Кулона $F_{1} = F_{2} = F_{K} = k \frac{|q||Q|}{l^{2}} = k \frac{qQ}{l^{2}}$ ($|q| = q, |Q| = Q)$, так как по условию $Q > 0$ и $q >0$). Кроме того, на заряд $q$ действует сила отталкивания $\vec{F}_{3}$ со стороны другого заряда $q$, причем $F_{3} = k \frac{q^{2}}{d_{1}^{2}} = k \frac{q^{2}}{4 \sin^{2} \alpha /2}$. И наконец, к заряду $q$ приложены силы натяжения нитей $\vec{T}_{1}$ и $\vec{T}_{2}$, модули которых равны $T$, что является следствием симметрии рассматриваемой системы. Спроецировав указанные силы на меньшую диагональ и учитывая, что заряд $q$ находится в равновесии, получаем уравнение:
$2F_{K} \cos \frac{ \beta}{2} + F_{3} - 2T \cos \frac{ \beta}{2} = 0 \Rightarrow F_{3} = 2 (T - F_{K}) \cos \frac{ \beta}{2}$ (1)
К заряду $Q$ со стороны зарядов $q$ приложены: две одинаковые по модулю силы $F_{K} = k \frac{qQ}{l^{2}}$, две силы натяжения нити, модули которых равны $T$, и сила отталкивания $\vec{F}_{4}$ со стороны другого заряда, $Q$ причем $F_{4} = k \frac{Q^{2}}{d_{2}^{2}} = k \frac{Q^{2}}{4 \sin^{2} \beta/2}$. Спроецировав эти силы на большую диагональ, получим.
$2 F_{K} \cos \frac{ \alpha}{2} + F_{4} - 2T \cos \frac{ \alpha}{2} = 0 \Rightarrow F_{4} = 2(T - F_{K}) \cos \frac{ \alpha}{2}$ (2).
Разделим уравнение (1) на уравнение (2) тогда $\frac{F_{3}}{F_{4}} = \frac{ \cos \beta/2}{ \cos \alpha/2}$. Подставляя значення $F_{3}$ и $F_{4}$, получаем $\frac{q^{2} \sin^{2} \beta/2}{ Q^{2} \sin^{2} \alpha/2} = \frac{ \cos \beta/2}{ \cos \alpha/2}$. Так как $\beta + \alpha = \pi$, то $\frac{ \beta}{2} = \frac{ \pi}{2} - \frac{ \alpha}{2}$ и $\cos \beta /2 = \cos ( \pi/2 - \alpha /2) = \sin \alpha/2$, а $\sin^{2} \beta/2 = \cos^{2} \alpha/2$. Тогда
$\frac{q^{2} \cos^{2} \alpha /2}{ Q^{2} \sin^{2} \alpha/2} = \frac{ \sin \alpha/2}{ \cos \alpha/2} \Rightarrow \left ( \frac{q}{Q} \right )^{2} = tg^{3} \alpha/2 \Rightarrow tg \alpha/2 = \sqrt[3]{ \left ( \frac{q}{Q} \right )^{2} } = \left ( \frac{q}{Q} \right )^{2/3} \Rightarrow \alpha/2 artcg \left ( \frac{q}{Q} \right )^{2/3} \Rightarrow \alpha = 2 arctg \left ( \frac{q}{Q} \right )^{2/3}$ и $\beta = \pi - \alpha$.
