Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3112
2017-04-24 
Верхний конец вертикально расположенного капилляра длиной $l$ закрыт пробкой. Если нижний конец капилляра привести в соприкосновение с поверхностью воды, то вода поднимется в капилляре на высоту $h$. На какую высоту поднимется вода в капилляре, если открыть пробку? Атмосферное давление равно $p_{0}$, плотность воды - $\rho$, ее коэффициент поверхностного натяжения - $\delta$.
Решение:
Рассмотрим условия равновесия столбика воды высотой $h$ в капилляре. Вертикально вверх на этот столбик действуют: сила атмосферного давления $p_{0}S$, где $S$ - сечение капилляра, и сила поверхностного натяжения, равная $\delta \cdot 2 \pi r$, где $r$ - радиус капилляра. Вертикально вниз на столбик действуют: сила тяжести столбика воды, равная $mg = \rho gSh$, и сила давления воздуха, находящегося над столбиком воды, равная $p_{в}S$, где $p_{в}$ - давление воздуха. Запишем условие равновесия:
$p_{0}S + \delta 2 \pi r = \rho gSh + p_{в}S \Rightarrow p_{0} + \frac{ \delta}{S} \cdot 2 \pi r = \rho gh + p_{в}$.
Учитывая, что $S = \pi r^{2}$, получаем $p_{0} + \frac{2 \delta}{r} = \rho gh + p_{в}$ (*).
Непосредственно перед соприкосновением капилляра с поверхностью воды воздух занимал весь объем капилляра $V_{1} = Sl$ и находился при атмосферном давлении. Когда вода в капилляре поднялась на высоту $h$, объем воздуха стал равен $V_{2} = S (l - h)$, а его давление - $p_{в}$. Так как температура неизменна, то из свойств изотермического процесса получаем:
$p_{0}V_{1} = p_{в}V_{2} \Rightarrow p_{0}l = p_{в}(l-h) \Rightarrow p_{в} = \frac{p_{0}l}{l-h}$.
Подставляя $p_{в}$ в уравнение (*), находим, что
$p_{0} + \frac{2 \delta}{r} = \rho gh + \frac{p_{0}l}{l-h}$ (**).
Если открыть пробку, высота столбика воды становится равной $h^{ \prime} = \frac{2 \delta}{ \rho gr}$. Разделив равенство (**) на $\rho g$, получим:
$\frac{p_{0}}{ \rho g} + \frac{2 \delta}{r \rho g} = h + \frac{p_{0}l}{ \rho g ( l- h)} \Rightarrow \frac{p_{0}}{ \rho g} + h^{ \prime} = h + \frac{p_{0}l}{ \rho g (l-h)} \Rightarrow h^{ \prime} = h + \frac{p_{0}l}{ \rho g( l -h)} - \frac{p_{0}}{ \rho g} = h + \frac{p_{0}}{ \rho g} \left ( \frac{l}{l - h} - 1 \right ) = h \left ( 1 + \frac{p_{0}}{ \rho g (l - h)} \right )$.
Верхний конец вертикально расположенного капилляра длиной $l$ закрыт пробкой. Если нижний конец капилляра привести в соприкосновение с поверхностью воды, то вода поднимется в капилляре на высоту $h$. На какую высоту поднимется вода в капилляре, если открыть пробку? Атмосферное давление равно $p_{0}$, плотность воды - $\rho$, ее коэффициент поверхностного натяжения - $\delta$.
Решение:
Рассмотрим условия равновесия столбика воды высотой $h$ в капилляре. Вертикально вверх на этот столбик действуют: сила атмосферного давления $p_{0}S$, где $S$ - сечение капилляра, и сила поверхностного натяжения, равная $\delta \cdot 2 \pi r$, где $r$ - радиус капилляра. Вертикально вниз на столбик действуют: сила тяжести столбика воды, равная $mg = \rho gSh$, и сила давления воздуха, находящегося над столбиком воды, равная $p_{в}S$, где $p_{в}$ - давление воздуха. Запишем условие равновесия:
$p_{0}S + \delta 2 \pi r = \rho gSh + p_{в}S \Rightarrow p_{0} + \frac{ \delta}{S} \cdot 2 \pi r = \rho gh + p_{в}$.
Учитывая, что $S = \pi r^{2}$, получаем $p_{0} + \frac{2 \delta}{r} = \rho gh + p_{в}$ (*).
Непосредственно перед соприкосновением капилляра с поверхностью воды воздух занимал весь объем капилляра $V_{1} = Sl$ и находился при атмосферном давлении. Когда вода в капилляре поднялась на высоту $h$, объем воздуха стал равен $V_{2} = S (l - h)$, а его давление - $p_{в}$. Так как температура неизменна, то из свойств изотермического процесса получаем:
$p_{0}V_{1} = p_{в}V_{2} \Rightarrow p_{0}l = p_{в}(l-h) \Rightarrow p_{в} = \frac{p_{0}l}{l-h}$.
Подставляя $p_{в}$ в уравнение (*), находим, что
$p_{0} + \frac{2 \delta}{r} = \rho gh + \frac{p_{0}l}{l-h}$ (**).
Если открыть пробку, высота столбика воды становится равной $h^{ \prime} = \frac{2 \delta}{ \rho gr}$. Разделив равенство (**) на $\rho g$, получим:
$\frac{p_{0}}{ \rho g} + \frac{2 \delta}{r \rho g} = h + \frac{p_{0}l}{ \rho g ( l- h)} \Rightarrow \frac{p_{0}}{ \rho g} + h^{ \prime} = h + \frac{p_{0}l}{ \rho g (l-h)} \Rightarrow h^{ \prime} = h + \frac{p_{0}l}{ \rho g( l -h)} - \frac{p_{0}}{ \rho g} = h + \frac{p_{0}}{ \rho g} \left ( \frac{l}{l - h} - 1 \right ) = h \left ( 1 + \frac{p_{0}}{ \rho g (l - h)} \right )$.
