Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3106
2017-04-24 
В калориметре плавает в воде кусок льда. В калориметр опускают нагреватель постоянной мощности $P = 50 Вт$ и начинают ежеминутно измерять температуру воды. В течение первой и второй минут температура воды не изменяется, к концу третьей минуты - увеличивается на $\Delta t_{1} = 2^{ \circ} С$, а к концу четвертой еще на $\Delta t_{2} = 5^{ \circ} С$. Сколько граммов воды и льда было изначально в калориметре? Удельная теплота плавления льда $\lambda = 33О Дж/г$, удельная теплоемкость воды $c = 4,2 Дж/(град \cdot г)$.
Решение:
Построим график зависимости температуры $t$ от времени $\tau$ (рис.). Из условия задачи следует, что начальная температура воды и льда в калориметре $t = 0^{ \circ} С$. В течение некоторого времени температура в калориметре не изменяется, так как вся сообщаемая теплота идет на плавление льда. Лед растает в момент времени $\tau_{x} \geq 2 мин$, после чего в калориметре образуется вода, масса которой $m_{л} + m_{в}$, где $m_{л}$ и $m_{в}$ - начальное количество льда и воды в калориметре.
При $\tau > \tau_{x}$ время нагревания воды равно $\tau - \tau_{x}$, сообщенная нагревателем теплота $Q = P( \tau - \tau_{x})$. Это количество теплоты идет на нагревание воды от $0^{ \circ} С$ до некоторой температуры $t^{ \circ} С$, поэтому $Q = c(m_{л} + m_{в})t$. Получаем равенство $P( \tau - \tau_{x}) = c(m_{л} - m_{в}) t \Rightarrow t = \frac{P( \tau - \tau_{x})}{c ( m_{л} + m_{в})} = \frac{P}{c(m_{л} + m_{в})} \tau - \frac{P}{c(m_{л} + m_{в})} \tau_{x}$.
Таким образом, при $\tau > \tau_{x}$ температура воды в калориметре есть линейная функция от времени $\tau$. График зависимости $t( \tau)$ представлен на рис.. Линейную зависимость на этом графике можно представить в виде $t( \tau) = k \tau + b$. Так как известны две точки, принадлежащие этой прямой, то можно найти коэффициенты $k$ и $b$ этой зависимости. При $\tau = 3 t = 2$ при $\tau = 4 t = 7$.
Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} 3k + b = 2, \\ 4k + b = 7, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} k=5, \\ b = -13, \end{cases} \Rightarrow t( \tau) = 5 \tau - 13$.
Теперь легко определить момент времени $\tau_{x}$, когда растает весь лед: $5 \tau_{x} - 13 = 0 \Rightarrow \tau_{x} = 2,6 мин$.
Как уже отмечалось, при $\tau = \tau_{x}$ вся сообщаемая теплота, равна $P \tau_{x}$ идет на плавление льда, поэтому
$P \tau_{x} = \lambda m_{л} \Rightarrow m_{л} = \frac{P \tau_{x}}{ \lambda} = 2,36 \cdot 10^{-2} кг = 23,6 г$.
При $\tau = 3 мин = 180 с$ имеем равенство
$P ( \tau - \tau_{x}) = c(m_{л} + m_{в}) \Delta t_{1} \Rightarrow m_{в} = \frac{P( \tau - \tau_{x})}{c} - m_{л} = 119,3 \cdot 10^{-3} кг = 119,3 г$.
В калориметре плавает в воде кусок льда. В калориметр опускают нагреватель постоянной мощности $P = 50 Вт$ и начинают ежеминутно измерять температуру воды. В течение первой и второй минут температура воды не изменяется, к концу третьей минуты - увеличивается на $\Delta t_{1} = 2^{ \circ} С$, а к концу четвертой еще на $\Delta t_{2} = 5^{ \circ} С$. Сколько граммов воды и льда было изначально в калориметре? Удельная теплота плавления льда $\lambda = 33О Дж/г$, удельная теплоемкость воды $c = 4,2 Дж/(град \cdot г)$.
Решение:
Построим график зависимости температуры $t$ от времени $\tau$ (рис.). Из условия задачи следует, что начальная температура воды и льда в калориметре $t = 0^{ \circ} С$. В течение некоторого времени температура в калориметре не изменяется, так как вся сообщаемая теплота идет на плавление льда. Лед растает в момент времени $\tau_{x} \geq 2 мин$, после чего в калориметре образуется вода, масса которой $m_{л} + m_{в}$, где $m_{л}$ и $m_{в}$ - начальное количество льда и воды в калориметре.
При $\tau > \tau_{x}$ время нагревания воды равно $\tau - \tau_{x}$, сообщенная нагревателем теплота $Q = P( \tau - \tau_{x})$. Это количество теплоты идет на нагревание воды от $0^{ \circ} С$ до некоторой температуры $t^{ \circ} С$, поэтому $Q = c(m_{л} + m_{в})t$. Получаем равенство $P( \tau - \tau_{x}) = c(m_{л} - m_{в}) t \Rightarrow t = \frac{P( \tau - \tau_{x})}{c ( m_{л} + m_{в})} = \frac{P}{c(m_{л} + m_{в})} \tau - \frac{P}{c(m_{л} + m_{в})} \tau_{x}$.
Таким образом, при $\tau > \tau_{x}$ температура воды в калориметре есть линейная функция от времени $\tau$. График зависимости $t( \tau)$ представлен на рис.. Линейную зависимость на этом графике можно представить в виде $t( \tau) = k \tau + b$. Так как известны две точки, принадлежащие этой прямой, то можно найти коэффициенты $k$ и $b$ этой зависимости. При $\tau = 3 t = 2$ при $\tau = 4 t = 7$.
Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} 3k + b = 2, \\ 4k + b = 7, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} k=5, \\ b = -13, \end{cases} \Rightarrow t( \tau) = 5 \tau - 13$.
Теперь легко определить момент времени $\tau_{x}$, когда растает весь лед: $5 \tau_{x} - 13 = 0 \Rightarrow \tau_{x} = 2,6 мин$.
Как уже отмечалось, при $\tau = \tau_{x}$ вся сообщаемая теплота, равна $P \tau_{x}$ идет на плавление льда, поэтому
$P \tau_{x} = \lambda m_{л} \Rightarrow m_{л} = \frac{P \tau_{x}}{ \lambda} = 2,36 \cdot 10^{-2} кг = 23,6 г$.
При $\tau = 3 мин = 180 с$ имеем равенство
$P ( \tau - \tau_{x}) = c(m_{л} + m_{в}) \Delta t_{1} \Rightarrow m_{в} = \frac{P( \tau - \tau_{x})}{c} - m_{л} = 119,3 \cdot 10^{-3} кг = 119,3 г$.
