Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3104
2017-04-24 
Теплоизолированный сосуд разделен на две части не проводящим тепло поршнем, который может перемещаться в сосуде без трения. В левой части сосуда находится 1 моль идеального одноатомного газа, в правой - вакуум. Поршень соединен с правой стенкой сосуда пружинкой, длина которой в свободном состоянии равна длине сосуда. Определить теплоемкость системы. Теплоемкостью сосуда, поршня и пружины можно пренебречь.
Решение:
По определению теплоемкость $c = \frac{Q}{ \Delta T}$, где $Q$ — количество теплоты, сообщенное газу, а $\Delta T$ - изменение его температуры. Выражая $Q$ через изменение внутренней энергии $\Delta U$ и термодинамическую работу $A$, получим, что
$c = \frac{ \Delta U + A}{ \Delta T} = \frac{ \Delta U}{ \Delta T} + \frac{A}{ \Delta T}$ (*)
$\frac{ \Delta U}{ \Delta T} = c_{V}$, поскольку дан 1 моль идеального одноатомного газа, то $c_{V} = \frac{3}{2} R$.
В результате нагревания газа поршень смещается на некоторое расстояние $x$. Пусть в этом состоянии давление газа - $p$, температура - $T$, а объем $V = Sx$, где $S$ - площадь сечения поршня. Эти параметры связаны уравнением Менделеева-Клапейрона: $pV = RT$ (1). При этом на поршень действуют: сила давления газа, $pS$ и сила упругости пружины, модуль которой $F_{y} = kx$, где $k$ - коэффициент жесткости пружины, $x$ - ее деформация. В любом равновесном состоянии выполняется равенство $pS - F_{y} = 0 \Leftrightarrow pS = kx$ (2). Разделив равенство (1) на (2), получим:
$\frac{V}{S} = \frac{RT}{kx} \Rightarrow \frac{Sx}{S} = \frac{RT}{kx} \Rightarrow T = \frac{kx^{2}}{R} = \frac{k}{R} \left ( \frac{V}{S} \right )^{2}$.
Подставляя в равенство (1), находим зависимость давления от объема в этом процессе:
$p(V) = \frac{RT}{V} = \frac{R}{V} \frac{k}{R} \left ( \frac{V}{S} \right )^{2} = \frac{k}{S^{2}} V$ (3).
Как видно, зависимость эта линейная, ее график представлен на рис. 7.17. Пусть газ расширяется от объема $V_{1}$ до объема $V_{2}$. Тогда его давление изменяется от $p_{1} = \frac{k}{S^{2}} V_{1}$ до $p_{2} = \frac{k}{S^{2}} V_{2}$. Работа газа численно равна площади трапеции с основаниями $p_{1}$ и $p_{2}$ и высотой $(V_{2} - V_{1})$. Итак,
$A = \frac{(p_{2} + p_{1})}{2} (V_{2} - V_{1}) = \frac{1}{2} \left ( \frac{k}{S^{2}} V_{2} + \frac{k}{S^{2}} V_{1} \right ) (V_{2} - V_{1}) = \frac{1}{2} \frac{k}{S^{2}} (V_{2}^{2} - V_{1}^{2}) = \frac{1}{2} \left ( \frac{k}{S^{2}} V_{2}^{2} - \frac{k}{S^{2}} V_{1}^{2} \right )$.
Из равенства (3) следует, что $\frac{k}{S^{2}} V^{2} = RT$, поэтому $A = \frac{1}{2} (RT_{2} - RT_{1}) = \frac{R}{2} \Delta T$. В равенстве (*) отношение $\frac{A}{ \Delta T} = \frac{R}{2}$, поэтому искомая теплоемкость $c = \frac{3}{2} R + \frac{R}{2} = 2R$.
Теплоизолированный сосуд разделен на две части не проводящим тепло поршнем, который может перемещаться в сосуде без трения. В левой части сосуда находится 1 моль идеального одноатомного газа, в правой - вакуум. Поршень соединен с правой стенкой сосуда пружинкой, длина которой в свободном состоянии равна длине сосуда. Определить теплоемкость системы. Теплоемкостью сосуда, поршня и пружины можно пренебречь.
Решение:
По определению теплоемкость $c = \frac{Q}{ \Delta T}$, где $Q$ — количество теплоты, сообщенное газу, а $\Delta T$ - изменение его температуры. Выражая $Q$ через изменение внутренней энергии $\Delta U$ и термодинамическую работу $A$, получим, что
$c = \frac{ \Delta U + A}{ \Delta T} = \frac{ \Delta U}{ \Delta T} + \frac{A}{ \Delta T}$ (*)
$\frac{ \Delta U}{ \Delta T} = c_{V}$, поскольку дан 1 моль идеального одноатомного газа, то $c_{V} = \frac{3}{2} R$.
В результате нагревания газа поршень смещается на некоторое расстояние $x$. Пусть в этом состоянии давление газа - $p$, температура - $T$, а объем $V = Sx$, где $S$ - площадь сечения поршня. Эти параметры связаны уравнением Менделеева-Клапейрона: $pV = RT$ (1). При этом на поршень действуют: сила давления газа, $pS$ и сила упругости пружины, модуль которой $F_{y} = kx$, где $k$ - коэффициент жесткости пружины, $x$ - ее деформация. В любом равновесном состоянии выполняется равенство $pS - F_{y} = 0 \Leftrightarrow pS = kx$ (2). Разделив равенство (1) на (2), получим:
$\frac{V}{S} = \frac{RT}{kx} \Rightarrow \frac{Sx}{S} = \frac{RT}{kx} \Rightarrow T = \frac{kx^{2}}{R} = \frac{k}{R} \left ( \frac{V}{S} \right )^{2}$.
Подставляя в равенство (1), находим зависимость давления от объема в этом процессе:
$p(V) = \frac{RT}{V} = \frac{R}{V} \frac{k}{R} \left ( \frac{V}{S} \right )^{2} = \frac{k}{S^{2}} V$ (3).
Как видно, зависимость эта линейная, ее график представлен на рис. 7.17. Пусть газ расширяется от объема $V_{1}$ до объема $V_{2}$. Тогда его давление изменяется от $p_{1} = \frac{k}{S^{2}} V_{1}$ до $p_{2} = \frac{k}{S^{2}} V_{2}$. Работа газа численно равна площади трапеции с основаниями $p_{1}$ и $p_{2}$ и высотой $(V_{2} - V_{1})$. Итак,
$A = \frac{(p_{2} + p_{1})}{2} (V_{2} - V_{1}) = \frac{1}{2} \left ( \frac{k}{S^{2}} V_{2} + \frac{k}{S^{2}} V_{1} \right ) (V_{2} - V_{1}) = \frac{1}{2} \frac{k}{S^{2}} (V_{2}^{2} - V_{1}^{2}) = \frac{1}{2} \left ( \frac{k}{S^{2}} V_{2}^{2} - \frac{k}{S^{2}} V_{1}^{2} \right )$.
Из равенства (3) следует, что $\frac{k}{S^{2}} V^{2} = RT$, поэтому $A = \frac{1}{2} (RT_{2} - RT_{1}) = \frac{R}{2} \Delta T$. В равенстве (*) отношение $\frac{A}{ \Delta T} = \frac{R}{2}$, поэтому искомая теплоемкость $c = \frac{3}{2} R + \frac{R}{2} = 2R$.
