Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3093
2017-04-24 
В сосуде с газом поддерживается температура $T_{1}$. Вне сосуда находится газ, давление которого - $p_{2}$, а температура - $T_{2}$. Чему равно давление газа внутри сосуда, если в его стенке имеется небольшое отверстие? Газы разрежены.
Решение:
Давление газа $p_{1}$ в сосуде можно выразить, используя уравнение, в которое входит концентрация молекул $n_{1}$. Получаем $p_{1} = n_{1}k_{Б} T_{1}$. Аналогично давление газа вне сосуда $p_{2} = n_{2}k_{Б}T_{2}$, где $n_{2}$ - концентрация молекул вне сосуда. Разделив первое равенство на второе, получим
$\frac{p_{1}}{p_{2}} = \frac{n_{1}}{n_{2}} \frac{T_{1}}{T_{2}} \Rightarrow p_{1} = p_{2} \frac{n_{1}}{n_{2}} \frac{T_{1}}{T_{2}}$. (1)
В равновесном состоянии число молекул, влетающих в сосуда за любой промежуток времени $\Delta t$, равно числу молекул, вылетающих из этого сосуда. Как было показано при выводе основного уравнения MKT, количество молекул, сталкивающихся с площадкой $S$, вычисляется по формуле $Z = \frac{1}{2} nSv_{x} \Delta t$, где $v_{x}$ - среднее значение модуля проекции скорости на ось X, направленную перпендикулярно площадке. Таким образом, если $S$ - площадь отверстия, то за промежуток времени $\Delta t$ из сосуда вылетает $Z_{1} = \frac{1}{2} n_{1} Sv_{1x} \Delta t$ молекул, а влетает $Z_{2} = \frac{1}{2} n_{2} Sv_{2x} \Delta t$. Так как $Z_{1} = Z_{2}$, то $n_{1}v_{1x} = n_{2}v_{2x} \Rightarrow \frac{n_{1}}{n_{2}} = \frac{v_{2x}}{v_{1x}}$. Но $v_{x}$ пропорциональна среднеквадратичной скорости молекул, равной $v = \sqrt{ \frac{3k_{Б}T}{m_{0}}}$, где $m_{0}$ - масса молекулы, а $T$ - температура (см. задачу 3078). Таким образом, $v_{x} \sim v \sim \sqrt{T}$. Следовательно, $\frac{v_{2x}}{v_{1x}} = \sqrt{ \frac{T_{2}}{T_{2}} }$, а значит $\frac{n_{1}}{n_{2}} = \frac{v_{2x}}{v_{1x}} = \sqrt{ \frac{T_{2}}{T_{1}}}$. Подставляя отношение концентраций в формулу (1) находим: $p_{1} = p_{2} \sqrt{ \frac{T_{2}}{T_{1}}} \frac{T_{1}}{T_{2}} = p_{2} \sqrt{ \frac{T_{1}}{T_{2}}}$.
В сосуде с газом поддерживается температура $T_{1}$. Вне сосуда находится газ, давление которого - $p_{2}$, а температура - $T_{2}$. Чему равно давление газа внутри сосуда, если в его стенке имеется небольшое отверстие? Газы разрежены.
Решение:
Давление газа $p_{1}$ в сосуде можно выразить, используя уравнение, в которое входит концентрация молекул $n_{1}$. Получаем $p_{1} = n_{1}k_{Б} T_{1}$. Аналогично давление газа вне сосуда $p_{2} = n_{2}k_{Б}T_{2}$, где $n_{2}$ - концентрация молекул вне сосуда. Разделив первое равенство на второе, получим
$\frac{p_{1}}{p_{2}} = \frac{n_{1}}{n_{2}} \frac{T_{1}}{T_{2}} \Rightarrow p_{1} = p_{2} \frac{n_{1}}{n_{2}} \frac{T_{1}}{T_{2}}$. (1)
В равновесном состоянии число молекул, влетающих в сосуда за любой промежуток времени $\Delta t$, равно числу молекул, вылетающих из этого сосуда. Как было показано при выводе основного уравнения MKT, количество молекул, сталкивающихся с площадкой $S$, вычисляется по формуле $Z = \frac{1}{2} nSv_{x} \Delta t$, где $v_{x}$ - среднее значение модуля проекции скорости на ось X, направленную перпендикулярно площадке. Таким образом, если $S$ - площадь отверстия, то за промежуток времени $\Delta t$ из сосуда вылетает $Z_{1} = \frac{1}{2} n_{1} Sv_{1x} \Delta t$ молекул, а влетает $Z_{2} = \frac{1}{2} n_{2} Sv_{2x} \Delta t$. Так как $Z_{1} = Z_{2}$, то $n_{1}v_{1x} = n_{2}v_{2x} \Rightarrow \frac{n_{1}}{n_{2}} = \frac{v_{2x}}{v_{1x}}$. Но $v_{x}$ пропорциональна среднеквадратичной скорости молекул, равной $v = \sqrt{ \frac{3k_{Б}T}{m_{0}}}$, где $m_{0}$ - масса молекулы, а $T$ - температура (см. задачу 3078). Таким образом, $v_{x} \sim v \sim \sqrt{T}$. Следовательно, $\frac{v_{2x}}{v_{1x}} = \sqrt{ \frac{T_{2}}{T_{2}} }$, а значит $\frac{n_{1}}{n_{2}} = \frac{v_{2x}}{v_{1x}} = \sqrt{ \frac{T_{2}}{T_{1}}}$. Подставляя отношение концентраций в формулу (1) находим: $p_{1} = p_{2} \sqrt{ \frac{T_{2}}{T_{1}}} \frac{T_{1}}{T_{2}} = p_{2} \sqrt{ \frac{T_{1}}{T_{2}}}$.
