Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3087
2017-04-24 
В запаянной с одного конца стеклянной трубке длиной $l = 0,9 м$ находится столбик воздуха, ограниченный сверху столбиком ртути высотой $h = 30 см$. Ртуть доходит до верхнего края трубки. Трубку осторожно поворачивают открытым концом вниз, при этом часть ртути выливается. Какова высота оставшегося столбика ртути? Атмосферное давление $p_{0} = 10^{5} Па$.
Решение:
Укажем параметры состояния воздуха: в состоянии (1): $p_{1}/ V_{1} = S(l-h)/ T$; в состоянии (2): $p_{2}/V_{2} = S(l - x)/ T$.
Здесь $S$ - площадь поперечного сечения трубки, $T$ - температура воздуха, которую во всех задачах данного типа считают одинаковой, равной температуре окружающей среды, $x$ - высота оставшегося столбика ртути. Так как масса воздуха в трубке не изменяется, то переход из (1) в (2) является изотермическим, и по закону Бойля-Мариотта $p_{1}V_{1} = p_{2}V_{2} \Rightarrow p_{1} (l - h) = p_{2}(l - x)$ (*).
Выразим $p_{1}$ и $p_{2}$. В состоянии (1) на столбик ртути действуют силы: $m \vec{g}$ - сила тяжести столбика ртути, $\bar{p_{0}S}$ - сила атмосферного давления и $\bar{p_{1}S}$ - сила давления воздуха. Получаем, что $p_{1}S - p_{0}S - mg = 0$. Выразив $m = \rho V = \rho Sh$ ( $\rho$ - плотность ртути), получим $p_{1} = p_{0} + \frac{mg}{S} = p_{0} + \rho gh$. В состоянии (2) условия равновесия столбика ртути запишутся в виде:
$p_{0}S - p_{2}S - mg = 0 \Rightarrow p_{2} = p_{0} - \frac{mg}{S} = p_{0} - \rho gx$.
Подставив в (*), получим $(p_{0} + \rho gh)(l-h) = (p_{0} - \rho gx)(l - x)$.
Раскрыв скобки, приходим к квадратному уравнению: $\rho gx^{2} - (p_{0} + \rho gl)x + h( \rho gh + p_{0} - \rho gl) = 0$.
Вынесем из последних двух членов этого уравнения множитель $\rho gl$, получим:
$\rho gx^{2} - \rho gl \left ( \frac{p_{0}}{ \rho gl} + 1 \right ) x + \rho ghl \left ( \frac{h}{l} + \frac{p_{0}}{ \rho gl} - 1 \right ) = 0 \Rightarrow x^{2} - lx \left ( \frac{p_{0}}{ \rho gl} + 1 \right ) + hl \left ( \frac{h}{l} + \frac{p_{0}}{ \rho gl} - 1 \right ) = 0$.
Заметим, что $\rho gl$ - это давление столбика ртути высотой $l$, поэтому, если его выражать в мм рт. ст., оно будет численно равно $l$, выраженному в мм. В данном случае $\rho gl = 900$ мм.рт.ст. Давление $p_{0} = 10^{5} Па = 760 мм.рт.ст.$, поэтому $\frac{p_{0}}{ \rho gl} = \frac{760}{900} = \frac{38}{45}, \frac{h}{l} = \frac{1}{3}$. Подставляя в последнее уравнение $h = 30 см $ и $l = 90 см$, получаем $x^{2} + 166x + 480 = 0$, корни которого $x_{1} = 163 см$ и $x_{2} = 3 см$. Первый корень явно противоречит условию задачи, поэтому окончательно $x = 3 см$.
В запаянной с одного конца стеклянной трубке длиной $l = 0,9 м$ находится столбик воздуха, ограниченный сверху столбиком ртути высотой $h = 30 см$. Ртуть доходит до верхнего края трубки. Трубку осторожно поворачивают открытым концом вниз, при этом часть ртути выливается. Какова высота оставшегося столбика ртути? Атмосферное давление $p_{0} = 10^{5} Па$.
Решение:
Укажем параметры состояния воздуха: в состоянии (1): $p_{1}/ V_{1} = S(l-h)/ T$; в состоянии (2): $p_{2}/V_{2} = S(l - x)/ T$.
Здесь $S$ - площадь поперечного сечения трубки, $T$ - температура воздуха, которую во всех задачах данного типа считают одинаковой, равной температуре окружающей среды, $x$ - высота оставшегося столбика ртути. Так как масса воздуха в трубке не изменяется, то переход из (1) в (2) является изотермическим, и по закону Бойля-Мариотта $p_{1}V_{1} = p_{2}V_{2} \Rightarrow p_{1} (l - h) = p_{2}(l - x)$ (*).
Выразим $p_{1}$ и $p_{2}$. В состоянии (1) на столбик ртути действуют силы: $m \vec{g}$ - сила тяжести столбика ртути, $\bar{p_{0}S}$ - сила атмосферного давления и $\bar{p_{1}S}$ - сила давления воздуха. Получаем, что $p_{1}S - p_{0}S - mg = 0$. Выразив $m = \rho V = \rho Sh$ ( $\rho$ - плотность ртути), получим $p_{1} = p_{0} + \frac{mg}{S} = p_{0} + \rho gh$. В состоянии (2) условия равновесия столбика ртути запишутся в виде:
$p_{0}S - p_{2}S - mg = 0 \Rightarrow p_{2} = p_{0} - \frac{mg}{S} = p_{0} - \rho gx$.
Подставив в (*), получим $(p_{0} + \rho gh)(l-h) = (p_{0} - \rho gx)(l - x)$.
Раскрыв скобки, приходим к квадратному уравнению: $\rho gx^{2} - (p_{0} + \rho gl)x + h( \rho gh + p_{0} - \rho gl) = 0$.
Вынесем из последних двух членов этого уравнения множитель $\rho gl$, получим:
$\rho gx^{2} - \rho gl \left ( \frac{p_{0}}{ \rho gl} + 1 \right ) x + \rho ghl \left ( \frac{h}{l} + \frac{p_{0}}{ \rho gl} - 1 \right ) = 0 \Rightarrow x^{2} - lx \left ( \frac{p_{0}}{ \rho gl} + 1 \right ) + hl \left ( \frac{h}{l} + \frac{p_{0}}{ \rho gl} - 1 \right ) = 0$.
Заметим, что $\rho gl$ - это давление столбика ртути высотой $l$, поэтому, если его выражать в мм рт. ст., оно будет численно равно $l$, выраженному в мм. В данном случае $\rho gl = 900$ мм.рт.ст. Давление $p_{0} = 10^{5} Па = 760 мм.рт.ст.$, поэтому $\frac{p_{0}}{ \rho gl} = \frac{760}{900} = \frac{38}{45}, \frac{h}{l} = \frac{1}{3}$. Подставляя в последнее уравнение $h = 30 см $ и $l = 90 см$, получаем $x^{2} + 166x + 480 = 0$, корни которого $x_{1} = 163 см$ и $x_{2} = 3 см$. Первый корень явно противоречит условию задачи, поэтому окончательно $x = 3 см$.
