Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3086
2017-04-24 
Моль идеального газа участвует в процессе, изображенном на рис.. Продолжение отрезков прямых (1-2) и (3-4) проходят через начало координат, а кривые (1-4) и (2-3) являются изотермами. Изобразить этот процесс в координатах V - Т, (T - ось ординат) и найти объем $V_{3}$ если известны объемы $V_{1}$ и $V_{2} = V_{4}$.
Решение:
На участке (1-2) давление линейно зависит от объема $p = \alpha_{1} V$, где $\alpha_{1} = const$. Кроме того, в любом состоянии на этом участке выполняется уравнение Менделеева-Клапейрона $pV = RT$ (по условию задан один моль). Подставляя в это уравнение $p = \alpha_{1}V$, получаем $\alpha_{1} V^{2} = RT \Rightarrow T(V) = \frac{ \alpha_{1}}{R} V^{2}$. Графиком этого процесса в осях V - Т является парабола (1-2) (рис.). Аналогично на участке (3-4) $p = \alpha_{2} V$, где $\alpha_{2} = const$, причем $\alpha_{2} < \alpha_{1}$, поэтому $T(V) = \frac{ \alpha_{2}}{R} V^{2}$. График этого процесса - парабола, изображенная на рис.. По условию задачи участки (2-3) и (4-1) - изотермы, причем, как следует из рис. $T_{2} > T_{1}$. Графики этих процессов в осях V - Т - прямые. Окончательный вид процесса представлен на рис..
Так как точки 2 и 3 расположены на одной изотерме, то по закону Бойля-Мариотта $p_{2}V_{2} = p_{3}V_{3}$. Аналогично получаем, что $p_{1}V_{1} = p_{4}V_{4}$. После деления этих равенств одно на другое находим, что $\frac{p_{2}}{p_{1}} \frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{p_{3}}{p_{4}} \frac{V_{3}}{V_{4}}$ (1)
Так как на участке (1-2) $p = \alpha_{1} V$, то $\frac{p_{2}}{p_{1}} = \frac{V_{2}}{V_{1}}$. Аналогично находим, что $\frac{p_{3}}{p_{4}} = \frac{V_{3}}{V_{4}}$. Заменяя в равенстве (1) отношение давлений отношением объемов, получаем:
$\left ( \frac{V_{2}}{V_{1}} \right )^{2} = \left ( \frac{V_{3}}{V_{4}} \right )^{2} \Rightarrow \frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{V_{3}}{V_{4}} \Rightarrow V_{3} = \frac{V_{2}V_{4}}{V_{1}} = \frac{V_{2}^{2}}{V_{1}}$.
Моль идеального газа участвует в процессе, изображенном на рис.. Продолжение отрезков прямых (1-2) и (3-4) проходят через начало координат, а кривые (1-4) и (2-3) являются изотермами. Изобразить этот процесс в координатах V - Т, (T - ось ординат) и найти объем $V_{3}$ если известны объемы $V_{1}$ и $V_{2} = V_{4}$.
Решение:
На участке (1-2) давление линейно зависит от объема $p = \alpha_{1} V$, где $\alpha_{1} = const$. Кроме того, в любом состоянии на этом участке выполняется уравнение Менделеева-Клапейрона $pV = RT$ (по условию задан один моль). Подставляя в это уравнение $p = \alpha_{1}V$, получаем $\alpha_{1} V^{2} = RT \Rightarrow T(V) = \frac{ \alpha_{1}}{R} V^{2}$. Графиком этого процесса в осях V - Т является парабола (1-2) (рис.). Аналогично на участке (3-4) $p = \alpha_{2} V$, где $\alpha_{2} = const$, причем $\alpha_{2} < \alpha_{1}$, поэтому $T(V) = \frac{ \alpha_{2}}{R} V^{2}$. График этого процесса - парабола, изображенная на рис.. По условию задачи участки (2-3) и (4-1) - изотермы, причем, как следует из рис. $T_{2} > T_{1}$. Графики этих процессов в осях V - Т - прямые. Окончательный вид процесса представлен на рис..
Так как точки 2 и 3 расположены на одной изотерме, то по закону Бойля-Мариотта $p_{2}V_{2} = p_{3}V_{3}$. Аналогично получаем, что $p_{1}V_{1} = p_{4}V_{4}$. После деления этих равенств одно на другое находим, что $\frac{p_{2}}{p_{1}} \frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{p_{3}}{p_{4}} \frac{V_{3}}{V_{4}}$ (1)
Так как на участке (1-2) $p = \alpha_{1} V$, то $\frac{p_{2}}{p_{1}} = \frac{V_{2}}{V_{1}}$. Аналогично находим, что $\frac{p_{3}}{p_{4}} = \frac{V_{3}}{V_{4}}$. Заменяя в равенстве (1) отношение давлений отношением объемов, получаем:
$\left ( \frac{V_{2}}{V_{1}} \right )^{2} = \left ( \frac{V_{3}}{V_{4}} \right )^{2} \Rightarrow \frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{V_{3}}{V_{4}} \Rightarrow V_{3} = \frac{V_{2}V_{4}}{V_{1}} = \frac{V_{2}^{2}}{V_{1}}$.
