Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3076
2017-04-24 
В цилиндрическом стакане с водой плавает брусок высотой $l$ и сечением $S$. При помощи тонкой спицы брусок медленно опускают на дно стакана. Какая работа при этом была совершена? Сечение стакана равно $5S$, начальная высота воды в стакане - $l$, плотность бруска $\rho = 0,5 \rho_{0}$, где $\rho_{0}$ - плотность воды.
Решение:
Пусть брусок плавает в воде (рис.). Вертикально вниз на него действует сила тяжести $mg = \rho S lg$, а вертикально вверх действует выталкивающая сила $F_{A} = \rho_{0} l_{п}g$, где $l_{п}$ - высота погруженной части бруска. Из условия плавания следует, что $mg = F_{A} \Rightarrow \rho Slg = \rho_{0} Sl_{п}g \Rightarrow l_{п} = \frac{ \rho}{ \rho_{0}} l = 0,5l$, что и отражено на рис..
Пусть на брусок подействовали силой $F$, направленной вниз. Под действием этой силы брусок сместится на расстояние x от нулевого уровня (рис.). При этом брусок вытеснил объем воды, равный $Sx$. В результате уровень воды в стакане повысится на $y$, причем $y$ находим из уравнения $Sx = (5S - S)y \Rightarrow y = \frac{x}{4}$. Следовательно, смещение бруска на x приведет к тому, что длина погруженной части бруска возрастет на $y + x = \frac{5x}{4}$. Для того, чтобы весь брусок оказался под водой, надо, чтобы $\frac{5x}{4} = \frac{l}{2} \Rightarrow x = \frac{2l}{5} = 0,4 l$. Уровень воды при этом поднимется на $y = \frac{x}{4} = 0,1 l$, что и отображено на рис..
Как уже отмечалось, для погружения бруска к нему надо приложить силу $F$, причем при медленном равномерном погружении модуль этой силы равен разности между выталкивающей силой, действующей на брусок, и силой его тяжести:
$F = F_{A} - mg = \rho_{0} S \left ( \frac{l}{2} + x \right ) g - \rho S lg = \rho_{0} S \left ( \frac{l}{2} + x \right ) g - 0,5 \rho_{0} Slg = \rho_{0} Sxg$. Как видно, эта сила линейно зависит от х - смещения бруска. При полном погружении бруска $F = F(0,4l) = 0,4 \rho_{0} Slg$.
После того, как брусок погружен, дальнейшее погружение бруска на $0,1l$ не приводит к изменению силы $F$. График зависимости силы $F$ приведен на рис..
Как известно, работа переменной силы равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком $F(x)$. Окончательно получаем:
$A = \frac{0,1l + 0,5l}{2} 0,4 \rho_{0} Slg = 0,12 \rho_{0} Sl^{2} g$.
В цилиндрическом стакане с водой плавает брусок высотой $l$ и сечением $S$. При помощи тонкой спицы брусок медленно опускают на дно стакана. Какая работа при этом была совершена? Сечение стакана равно $5S$, начальная высота воды в стакане - $l$, плотность бруска $\rho = 0,5 \rho_{0}$, где $\rho_{0}$ - плотность воды.
Решение:
Пусть брусок плавает в воде (рис.). Вертикально вниз на него действует сила тяжести $mg = \rho S lg$, а вертикально вверх действует выталкивающая сила $F_{A} = \rho_{0} l_{п}g$, где $l_{п}$ - высота погруженной части бруска. Из условия плавания следует, что $mg = F_{A} \Rightarrow \rho Slg = \rho_{0} Sl_{п}g \Rightarrow l_{п} = \frac{ \rho}{ \rho_{0}} l = 0,5l$, что и отражено на рис..
Пусть на брусок подействовали силой $F$, направленной вниз. Под действием этой силы брусок сместится на расстояние x от нулевого уровня (рис.). При этом брусок вытеснил объем воды, равный $Sx$. В результате уровень воды в стакане повысится на $y$, причем $y$ находим из уравнения $Sx = (5S - S)y \Rightarrow y = \frac{x}{4}$. Следовательно, смещение бруска на x приведет к тому, что длина погруженной части бруска возрастет на $y + x = \frac{5x}{4}$. Для того, чтобы весь брусок оказался под водой, надо, чтобы $\frac{5x}{4} = \frac{l}{2} \Rightarrow x = \frac{2l}{5} = 0,4 l$. Уровень воды при этом поднимется на $y = \frac{x}{4} = 0,1 l$, что и отображено на рис..
Как уже отмечалось, для погружения бруска к нему надо приложить силу $F$, причем при медленном равномерном погружении модуль этой силы равен разности между выталкивающей силой, действующей на брусок, и силой его тяжести:
$F = F_{A} - mg = \rho_{0} S \left ( \frac{l}{2} + x \right ) g - \rho S lg = \rho_{0} S \left ( \frac{l}{2} + x \right ) g - 0,5 \rho_{0} Slg = \rho_{0} Sxg$. Как видно, эта сила линейно зависит от х - смещения бруска. При полном погружении бруска $F = F(0,4l) = 0,4 \rho_{0} Slg$.
После того, как брусок погружен, дальнейшее погружение бруска на $0,1l$ не приводит к изменению силы $F$. График зависимости силы $F$ приведен на рис..
Как известно, работа переменной силы равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком $F(x)$. Окончательно получаем:
$A = \frac{0,1l + 0,5l}{2} 0,4 \rho_{0} Slg = 0,12 \rho_{0} Sl^{2} g$.
