Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3074
2017-04-24 
Тонкая однородная палочка плотностью $\rho = 0,64 \cdot 10^{3} кг/м^{3}$ закреплена шарнирно одним концом и опущена в воду. Палочка находится в равновесии, отклонившись на некоторый угол от вертикали. Какая часть палочки находится в воде?
Решение:
В точке С (середина палочки) приложена сила тяжести $m \vec{g}$. В точке В (середина погруженной части) приложена выталкивающая сила $\vec{F}_{A}$. В точке О приложена сила $\vec{N}$, действующая на палочку со стороны шарнира. Пусть О - точка вращения, тогда сумма моментов сил относительно этой точки равна нулю. Момент силы $N$ равен нулю. Момент силы тяжести $M_{mg} = -mg \frac{l}{2} \sin \alpha$, где $l$ - - длина палочки. Момент выталкивающей силы $M_{A} = F_{A} \left ( l - \frac{x}{2} \right ) \sin \alpha$, где $x$ - длина погруженной части. Получаем уравнение:
$F_{A} \left ( l - \frac{x}{2} \right ) \sin \alpha - mg \frac{l}{2} \sin \alpha = 0$ (1)
Выразим выталкивающую силу: $F_{A} = m_{в}g = \rho_{в}V_{п}g = \rho_{в}Sxg$, где $S$ - площадь поперечного сечения палочки. Массу палочки представим в виде $m = \rho Sl$. Подставим в уравнение (1) и получим
$\rho_{в} Sxg \left ( l - \frac{x}{2} \right ) \sin \alpha - \rho gS \frac{l^{2}}{2} \sin \alpha = 0 \Rightarrow \rho_{в} xl - \rho_{в} \frac{x^{2}}{2} - \rho \frac{l^{2}}{2} = 0 \Rightarrow \rho_{в} x^{2} - 2 \rho_{в} xl + \rho l^{2} = 0 \Rightarrow x^{2} - 2lx + \frac{ \rho}{ \rho_{в}} l^{2} = 0$. Отсюда $x_{1,2} = l \pm l \sqrt{ 1 - \frac{ \rho }{ \rho_{в}}} = l (1 \pm \sqrt{0,64}) = l(1 \pm 0,8)$.
$x_{1} = 1,8l$, что противоречит условию задачи.
$x_{2} = 0,2l$, что и является ответом задачи.
Тонкая однородная палочка плотностью $\rho = 0,64 \cdot 10^{3} кг/м^{3}$ закреплена шарнирно одним концом и опущена в воду. Палочка находится в равновесии, отклонившись на некоторый угол от вертикали. Какая часть палочки находится в воде?
Решение:
В точке С (середина палочки) приложена сила тяжести $m \vec{g}$. В точке В (середина погруженной части) приложена выталкивающая сила $\vec{F}_{A}$. В точке О приложена сила $\vec{N}$, действующая на палочку со стороны шарнира. Пусть О - точка вращения, тогда сумма моментов сил относительно этой точки равна нулю. Момент силы $N$ равен нулю. Момент силы тяжести $M_{mg} = -mg \frac{l}{2} \sin \alpha$, где $l$ - - длина палочки. Момент выталкивающей силы $M_{A} = F_{A} \left ( l - \frac{x}{2} \right ) \sin \alpha$, где $x$ - длина погруженной части. Получаем уравнение:
$F_{A} \left ( l - \frac{x}{2} \right ) \sin \alpha - mg \frac{l}{2} \sin \alpha = 0$ (1)
Выразим выталкивающую силу: $F_{A} = m_{в}g = \rho_{в}V_{п}g = \rho_{в}Sxg$, где $S$ - площадь поперечного сечения палочки. Массу палочки представим в виде $m = \rho Sl$. Подставим в уравнение (1) и получим
$\rho_{в} Sxg \left ( l - \frac{x}{2} \right ) \sin \alpha - \rho gS \frac{l^{2}}{2} \sin \alpha = 0 \Rightarrow \rho_{в} xl - \rho_{в} \frac{x^{2}}{2} - \rho \frac{l^{2}}{2} = 0 \Rightarrow \rho_{в} x^{2} - 2 \rho_{в} xl + \rho l^{2} = 0 \Rightarrow x^{2} - 2lx + \frac{ \rho}{ \rho_{в}} l^{2} = 0$. Отсюда $x_{1,2} = l \pm l \sqrt{ 1 - \frac{ \rho }{ \rho_{в}}} = l (1 \pm \sqrt{0,64}) = l(1 \pm 0,8)$.
$x_{1} = 1,8l$, что противоречит условию задачи.
$x_{2} = 0,2l$, что и является ответом задачи.
