Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3068
2017-04-24 
Штанга массой $m$ и длиной $l$ закреплена нижним концом на шарнире О. К верхнему концу штанги привязана нить, перекинутая через блок, укрепленный на высоте $H$ от шарнира и на одной с ним вертикали. Какой минимальный груз нужно повесить на другой конец нити, чтобы штанга устойчиво стояла в вертикальном положении?
Решение:
Пусть штанга отклоняется на малый угол $\alpha$ от вертикального положения. На штангу в точках С и А действуют: сила тяжести $m \vec{g}$, сила натяжения нити $\vec{T}$, причем $T = Mg$, где $M$ - масса груза. Для устойчивого равновесия надо, чтобы при малом отклонении возникали моменты сил, возвращающие штангу в исходное положение, т.е.
$MgH \sin \beta > mg \frac{l}{2} \sin \alpha$,
$M > \frac{ml}{2H} \frac{ \sin \alpha}{ \sin \beta}$.
Так как углы $\alpha$ и $\beta$ малы, то $\sin \alpha \approx \alpha, \sin \beta \approx \beta \Rightarrow M > \frac{ml}{2H} \frac{ \alpha}{ \beta}$ (1).
По теореме синусов в $\Delta AOB$
$\frac{H}{ \sin ( \pi - ( \alpha + \beta))} = \frac{l}{ \sin \beta} \Rightarrow \frac{H}{l} = \frac{ \sin ( \alpha + \beta)}{ \sin \beta} \Rightarrow \frac{H}{l} = \frac{ \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha}{ \sin \beta} \Rightarrow \frac{H}{l} = \frac{ \sin \alpha}{ tg \beta} + \cos \alpha$.
При малых $\alpha ~ \cos \alpha \approx 1, tg \beta \approx \beta$, поэтому
$\frac{H}{l} = \frac{ \alpha}{ \beta} + 1 \Rightarrow \frac{ \alpha}{ \beta} = \frac{H}{l} - 1 = \frac{H-l}{l}$.
Подставляя в (1), получим $M > \frac{m(H-l)}{2H}$.
Штанга массой $m$ и длиной $l$ закреплена нижним концом на шарнире О. К верхнему концу штанги привязана нить, перекинутая через блок, укрепленный на высоте $H$ от шарнира и на одной с ним вертикали. Какой минимальный груз нужно повесить на другой конец нити, чтобы штанга устойчиво стояла в вертикальном положении?
Решение:
Пусть штанга отклоняется на малый угол $\alpha$ от вертикального положения. На штангу в точках С и А действуют: сила тяжести $m \vec{g}$, сила натяжения нити $\vec{T}$, причем $T = Mg$, где $M$ - масса груза. Для устойчивого равновесия надо, чтобы при малом отклонении возникали моменты сил, возвращающие штангу в исходное положение, т.е.
$MgH \sin \beta > mg \frac{l}{2} \sin \alpha$,
$M > \frac{ml}{2H} \frac{ \sin \alpha}{ \sin \beta}$.
Так как углы $\alpha$ и $\beta$ малы, то $\sin \alpha \approx \alpha, \sin \beta \approx \beta \Rightarrow M > \frac{ml}{2H} \frac{ \alpha}{ \beta}$ (1).
По теореме синусов в $\Delta AOB$
$\frac{H}{ \sin ( \pi - ( \alpha + \beta))} = \frac{l}{ \sin \beta} \Rightarrow \frac{H}{l} = \frac{ \sin ( \alpha + \beta)}{ \sin \beta} \Rightarrow \frac{H}{l} = \frac{ \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha}{ \sin \beta} \Rightarrow \frac{H}{l} = \frac{ \sin \alpha}{ tg \beta} + \cos \alpha$.
При малых $\alpha ~ \cos \alpha \approx 1, tg \beta \approx \beta$, поэтому
$\frac{H}{l} = \frac{ \alpha}{ \beta} + 1 \Rightarrow \frac{ \alpha}{ \beta} = \frac{H}{l} - 1 = \frac{H-l}{l}$.
Подставляя в (1), получим $M > \frac{m(H-l)}{2H}$.
