Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3067
2017-04-24 
Дан однородный диск радиусом $R$, в котором проделаны два отверстия радиусом $R/2$ и $R/4$, как показано на рис. Определить положение центра тяжести диска.
Решение:
Из соображений симметрии ясно, что центр тяжести расположен на оси симметрии диска левее точки О. Если бы отверстий не было, то центр тяжести диска располагался бы в точке О. Диск можно представить состоящим из трех частей: из диска с центром в точке $O_{1}$ радиусом $R/2$, диска радиусом $R/4$ с центром в точке $O_{2}$ и оставшейся части, заштрихованной на рисунке, центр тяжести которой отстоит от точки О на расстоянии х.
Масса первого диска:
$m_{1} = \rho V_{1} = \rho S_{1}h = \rho \pi \left ( \frac{R}{2} \right )^{2} h = \rho \pi \frac{R^{2}}{4} h$,
где $\rho$ - плотность диска, $h$ - его толщина. Момент, создаваемый им относительно точки О:
$M_{1} = m_{1}g \frac{R}{2} = \rho \frac{ \pi R^{2}}{4} hg \frac{R}{2} = \rho \pi hg \frac{R^{3}}{8}$
Масса второго диска:
$m_{2} = \rho V_{2} = \rho S_{2} h = \rho \pi \left ( \frac{R}{4} \right )^{2} h = \rho \pi \frac{R^{2}}{16} h$.
Его момент относительно точки О:
$M_{2} = - m_{2}g \frac{R}{2} = - \rho \frac{ \pi R^{2}}{16} hg \frac{R}{2} = - \rho \pi hg \frac{R^{3}}{32}$
Масса оставшейся части:
$m_{3} = \rho V_{3} = \rho \left ( \pi R^{2} - \pi \frac{R^{2}}{4} - \pi \frac{ R^{2}}{16} \right )^{2} gh = \rho \pi \frac{11R^{2}}{16} gh$, а момент этой части:
$M_{3} = - m_{3} gx = - \rho \pi \frac{11R^{2}}{16} ghx$.
При равновесии $M_{1} + M_{2} + M_{3} = 0$.
$\rho \pi \frac{R^{3}}{8} gh - \rho \pi \frac{R^{3}}{32} gh - \rho \pi \frac{11R^{2}}{16} ghx = 0 \Rightarrow 4R- R = 22x \Rightarrow x = \frac{3R}{22}$.
Дан однородный диск радиусом $R$, в котором проделаны два отверстия радиусом $R/2$ и $R/4$, как показано на рис. Определить положение центра тяжести диска.
Решение:
Из соображений симметрии ясно, что центр тяжести расположен на оси симметрии диска левее точки О. Если бы отверстий не было, то центр тяжести диска располагался бы в точке О. Диск можно представить состоящим из трех частей: из диска с центром в точке $O_{1}$ радиусом $R/2$, диска радиусом $R/4$ с центром в точке $O_{2}$ и оставшейся части, заштрихованной на рисунке, центр тяжести которой отстоит от точки О на расстоянии х.
Масса первого диска:
$m_{1} = \rho V_{1} = \rho S_{1}h = \rho \pi \left ( \frac{R}{2} \right )^{2} h = \rho \pi \frac{R^{2}}{4} h$,
где $\rho$ - плотность диска, $h$ - его толщина. Момент, создаваемый им относительно точки О:
$M_{1} = m_{1}g \frac{R}{2} = \rho \frac{ \pi R^{2}}{4} hg \frac{R}{2} = \rho \pi hg \frac{R^{3}}{8}$
Масса второго диска:
$m_{2} = \rho V_{2} = \rho S_{2} h = \rho \pi \left ( \frac{R}{4} \right )^{2} h = \rho \pi \frac{R^{2}}{16} h$.
Его момент относительно точки О:
$M_{2} = - m_{2}g \frac{R}{2} = - \rho \frac{ \pi R^{2}}{16} hg \frac{R}{2} = - \rho \pi hg \frac{R^{3}}{32}$
Масса оставшейся части:
$m_{3} = \rho V_{3} = \rho \left ( \pi R^{2} - \pi \frac{R^{2}}{4} - \pi \frac{ R^{2}}{16} \right )^{2} gh = \rho \pi \frac{11R^{2}}{16} gh$, а момент этой части:
$M_{3} = - m_{3} gx = - \rho \pi \frac{11R^{2}}{16} ghx$.
При равновесии $M_{1} + M_{2} + M_{3} = 0$.
$\rho \pi \frac{R^{3}}{8} gh - \rho \pi \frac{R^{3}}{32} gh - \rho \pi \frac{11R^{2}}{16} ghx = 0 \Rightarrow 4R- R = 22x \Rightarrow x = \frac{3R}{22}$.
