Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3063
2017-04-24 
Лестница длиной $l = 3 м$ стоит, упираясь верхним концом в гладкую стену, а нижним - в пол. Лестница наклонена к полу под углом $\alpha = 60^{ \circ}$; ее масса $m = 15 кг$. На лестнице на расстоянии $a = 1 м$ от ее верхнего конца стоит человек массой $M = 60 кг$. Определить силы реакции стен и пола, действующие на лестницу. При каких значениях коэффициента трения лестницы о пол лестница не падает?
Решение:
К лестнице приложены силы: в середине (точка С) - сила тяжести лестницы $m \vec{g}$; в точке D приложен вес человека, равный его силе тяжести $M \vec{g}$; в точке В - сила реакции стенки $\vec{N}_{B}$; в точке А - сила реакции пола $\vec{N}_{A}$ и сила трения $\vec{F}_{тр}$. Пока лестница не падает, $\vec{F}_{тр}$ - сила трения покоя. Запишем первое условие равновесия на оси X и Y.
По оси Х $N_{B} - F_{тр} = 0,$
По оси Y $N_{A} - mg - Mg = 0$.
Второе условие равновесия, записанное относительно точки А:
$N_{B} \sin \alpha - Mg (l - a) \cos \alpha - mg \frac{l}{2} \cos \alpha =0$.
Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} N_{B} = F_{тр}, \\ N_{A} = (M+m)g, \\ N_{B} \sin \alpha = gl \cos \alpha \left ( M \left ( 1 - \frac{a}{l} \right ) + \frac{m}{2} \right ) \end{cases}$.
Из последнего уравнения находим
$N_{B} = \frac{(M(1 - a/l) + m/2)}{ \sin \alpha} = (M(1 - a/l) + m/2) g ctg \alpha = F_{тр} = 275 H$.
$N_{A} = (m + M)g = 750 H$.
Пол действует на лестницу с силой $\vec{Q} = \vec{N}_{A} + \vec{F}_{тр}$
По теореме Пифагора $Q = \sqrt{ N_{A}^{2} + F_{тр}^{2}} = \sqrt{(275)^{2} + (750)^{2}} \approx 800 Н$.
Сила $Q$ образует с вертикалью угол $\beta$, причем
$tg \beta = \frac{F_{тр}}{N_{A}} \approx 0,37 \Rightarrow \beta \approx 20^{ \circ}$.
Лестница не падает, если сила трения покоя не достигла своего максимального значения $F_{тр.ек} = \mu N_{a} = \mu (M+m)g$, где $\mu$ - коэффициент трения, т.е. $F_{тр} < \mu (m + M)g$. Подставив $F_{тр}$, получим:
$(M(1 - a/l) + m/2) g ctg \alpha < \mu (m + M)g \Rightarrow \mu > \frac{(2M/3 + m/2) ctg \alpha}{M+m}$. В данном случае $\frac{a}{l} = \frac{1}{3}$, поэтому $\mu > \frac{(2M/3 + m/2) ctg \alpha}{M+m} = 0,22$.
Лестница не будет падать при любом положении человека на ней, если $\mu > \frac{(M+m/2) ctg \alpha}{M+m} = 0,54$.
Лестница длиной $l = 3 м$ стоит, упираясь верхним концом в гладкую стену, а нижним - в пол. Лестница наклонена к полу под углом $\alpha = 60^{ \circ}$; ее масса $m = 15 кг$. На лестнице на расстоянии $a = 1 м$ от ее верхнего конца стоит человек массой $M = 60 кг$. Определить силы реакции стен и пола, действующие на лестницу. При каких значениях коэффициента трения лестницы о пол лестница не падает?
Решение:
К лестнице приложены силы: в середине (точка С) - сила тяжести лестницы $m \vec{g}$; в точке D приложен вес человека, равный его силе тяжести $M \vec{g}$; в точке В - сила реакции стенки $\vec{N}_{B}$; в точке А - сила реакции пола $\vec{N}_{A}$ и сила трения $\vec{F}_{тр}$. Пока лестница не падает, $\vec{F}_{тр}$ - сила трения покоя. Запишем первое условие равновесия на оси X и Y.
По оси Х $N_{B} - F_{тр} = 0,$
По оси Y $N_{A} - mg - Mg = 0$.
Второе условие равновесия, записанное относительно точки А:
$N_{B} \sin \alpha - Mg (l - a) \cos \alpha - mg \frac{l}{2} \cos \alpha =0$.
Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} N_{B} = F_{тр}, \\ N_{A} = (M+m)g, \\ N_{B} \sin \alpha = gl \cos \alpha \left ( M \left ( 1 - \frac{a}{l} \right ) + \frac{m}{2} \right ) \end{cases}$.
Из последнего уравнения находим
$N_{B} = \frac{(M(1 - a/l) + m/2)}{ \sin \alpha} = (M(1 - a/l) + m/2) g ctg \alpha = F_{тр} = 275 H$.
$N_{A} = (m + M)g = 750 H$.
Пол действует на лестницу с силой $\vec{Q} = \vec{N}_{A} + \vec{F}_{тр}$
По теореме Пифагора $Q = \sqrt{ N_{A}^{2} + F_{тр}^{2}} = \sqrt{(275)^{2} + (750)^{2}} \approx 800 Н$.
Сила $Q$ образует с вертикалью угол $\beta$, причем
$tg \beta = \frac{F_{тр}}{N_{A}} \approx 0,37 \Rightarrow \beta \approx 20^{ \circ}$.
Лестница не падает, если сила трения покоя не достигла своего максимального значения $F_{тр.ек} = \mu N_{a} = \mu (M+m)g$, где $\mu$ - коэффициент трения, т.е. $F_{тр} < \mu (m + M)g$. Подставив $F_{тр}$, получим:
$(M(1 - a/l) + m/2) g ctg \alpha < \mu (m + M)g \Rightarrow \mu > \frac{(2M/3 + m/2) ctg \alpha}{M+m}$. В данном случае $\frac{a}{l} = \frac{1}{3}$, поэтому $\mu > \frac{(2M/3 + m/2) ctg \alpha}{M+m} = 0,22$.
Лестница не будет падать при любом положении человека на ней, если $\mu > \frac{(M+m/2) ctg \alpha}{M+m} = 0,54$.
