Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3058
2017-04-24 
По сторонам прямого угла скользит жесткая спица длиной $2l$, посередине которой закреплена бусинка массой $m$. Скорость точки В постоянна и равна $v$. Определить, с какой силой действует бусинка на спицу в тот момент, когда угол $\alpha = 45^{ \circ}$.
Решение:
В любой момент времени $\Delta AOB$ - прямоугольный. ОС - медиана, проведенная к гипотенузе и равная половине гипотенузы, т.е. $OC = AB/2 = l$. Таким образом, какое бы положение ни занимал стержень в процессе движения, бусинка находится все время на одном и том же расстоянии от точки О. т.е. она движется по окружности радиусом $l$. Мгновенная скорость бусинки $\vec{v}_{c}$ направлена по касательной к окружности и имеет проекции на оси X и У. Пусть $x_{0}$ - -начальная координата точки В. тогда начальная координата точки С по оси X равна $\frac{x_{0}}{2}$. Координата точки В изменяется по закону $x = x_{0} + vt$, а координата точки С всегда равна $\frac{x}{2} = \frac{x_{0}}{2} + \frac{v}{2} t$. Следовательно, точка С (бусинка) в направлении X движется равномерно со скоростью $v_{x} = \frac{1}{2} v$.
В тот момент, когда $\alpha = 45^{ \circ} \angle OCA = \angle OCB = 90^{ \circ}$, т.е. стержень занимает положение, касательное к окружности, по которой движется бусинка.
В этот момент скорость $\vec{v}_{c}$ направлена вдоль стержня AB, а $v_{x} = |v_{y}| = \frac{1}{2} v$ (рис.). Скорость $v_{c} = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \frac{v}{ \sqrt{2}}$.
В рассматриваемой точке на бусинку действуют: сила тяжести $m \vec{g}$ и сила реакции со стороны стержня $\vec{N}$. Так как в направлении X ускорение бусинки равно 0, то сила $\vec{N}$ направлена вертикально (причем так будет во всех точках траектории) (рис.). По второму закону Ньютона для оси Z, направленной по радиусу получаем
$mg \cos 45^{ \circ} - N \cos 45^{ \circ} = ma_{n}$, где $a_{n}$ - центростремительное ускорение, равное $\frac{v_{c}^{2}}{l} = \frac{v^{2}}{2l}$. После подстановки получаем:
$\frac{1}{ \sqrt{2}} (mg - N) = \frac{mv^{2}}{2l} \Rightarrow N = m \left ( g - \frac{v^{2}}{l \sqrt{2}} \right )$.
В соответствии с третьим законом Ньютона с такой же по модулю силой бусинка действует на спицу.
По сторонам прямого угла скользит жесткая спица длиной $2l$, посередине которой закреплена бусинка массой $m$. Скорость точки В постоянна и равна $v$. Определить, с какой силой действует бусинка на спицу в тот момент, когда угол $\alpha = 45^{ \circ}$.
Решение:
В любой момент времени $\Delta AOB$ - прямоугольный. ОС - медиана, проведенная к гипотенузе и равная половине гипотенузы, т.е. $OC = AB/2 = l$. Таким образом, какое бы положение ни занимал стержень в процессе движения, бусинка находится все время на одном и том же расстоянии от точки О. т.е. она движется по окружности радиусом $l$. Мгновенная скорость бусинки $\vec{v}_{c}$ направлена по касательной к окружности и имеет проекции на оси X и У. Пусть $x_{0}$ - -начальная координата точки В. тогда начальная координата точки С по оси X равна $\frac{x_{0}}{2}$. Координата точки В изменяется по закону $x = x_{0} + vt$, а координата точки С всегда равна $\frac{x}{2} = \frac{x_{0}}{2} + \frac{v}{2} t$. Следовательно, точка С (бусинка) в направлении X движется равномерно со скоростью $v_{x} = \frac{1}{2} v$.
В тот момент, когда $\alpha = 45^{ \circ} \angle OCA = \angle OCB = 90^{ \circ}$, т.е. стержень занимает положение, касательное к окружности, по которой движется бусинка.
В этот момент скорость $\vec{v}_{c}$ направлена вдоль стержня AB, а $v_{x} = |v_{y}| = \frac{1}{2} v$ (рис.). Скорость $v_{c} = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \frac{v}{ \sqrt{2}}$.
В рассматриваемой точке на бусинку действуют: сила тяжести $m \vec{g}$ и сила реакции со стороны стержня $\vec{N}$. Так как в направлении X ускорение бусинки равно 0, то сила $\vec{N}$ направлена вертикально (причем так будет во всех точках траектории) (рис.). По второму закону Ньютона для оси Z, направленной по радиусу получаем
$mg \cos 45^{ \circ} - N \cos 45^{ \circ} = ma_{n}$, где $a_{n}$ - центростремительное ускорение, равное $\frac{v_{c}^{2}}{l} = \frac{v^{2}}{2l}$. После подстановки получаем:
$\frac{1}{ \sqrt{2}} (mg - N) = \frac{mv^{2}}{2l} \Rightarrow N = m \left ( g - \frac{v^{2}}{l \sqrt{2}} \right )$.
В соответствии с третьим законом Ньютона с такой же по модулю силой бусинка действует на спицу.
