Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3056
2017-04-24 
Спуск с горы представляет собой дугу АВ окружности радиусом $R = 10 м$ с плавным выездом на горизонтальную поверхность ВС. Поверхность горы гладкая, а горизонтальная поверхность шероховатая с коэффициентом трения $\mu = 0,15$. На каком расстоянии от конца горы остановятся санки, если в точке А их полное ускорение равно по модулю $g$. Радиус, проведенный в точку А, образует с вертикалью угол $\alpha = 60^{ \circ}$.
Решение:
В точке А на санки действуют: сила тяжести $m \vec{g}$ и сила реакции $\vec{N}$. В направлении X (по радиусу к центру) эти силы сообщают санкам центростремительное ускорение $\vec{a}_{n}$ ( $a_{n} = \frac{v_{A}^{2}}{R}$). В направлении Y (по касательной к окружности) эти силы сообщают тангенциальное ускорение $\vec{a}_{ \tau}$, причем $ mg \sin \alpha = m a_{ \tau} \Rightarrow a_{ \tau} = g \sin \alpha$.
Так как модуль полного ускорения $a^{2} = a_{n}^{2} + a_{ \tau}^{2} \Rightarrow a_{n} = \sqrt{ a^{2} - a_{ \tau}^{2}} = \sqrt{ g^{2} - g^{2} \sin^{2} \alpha} = g \sqrt{1 - \sin^{2} \alpha} = g \cos \alpha$.
Из равенства $\frac{v_{A}^{2}}{R} = g \cos \alpha$ находим квадрат скорости в точке А: $v_{A}^{2} = Rg \cos \alpha$.
В точке А механическая энергия равна сумме кинетической $W_{kA} = \frac{mv_{A}^{2}}{2}$ и потенциальной $W_{pA} = mgh$ (рис.)
Определяем высоту $h$:
$h = A_{1}B = OB - OA_{1} = R - R \cos \alpha = R (1 - \cos \alpha)$.
Итак, механическая энергия з точке А:
$W_{A} = \frac{mv_{A}^{2}}{2} + mgR ( 1 - \cos \alpha) = \frac{mRg \cos \alpha }{2} + mgR(1 - \cos \alpha) = mgR \left ( \frac{ \cos \alpha}{2} + 1 - \cos \alpha \right ) = mgR \left ( 1 - \frac{ \cos \alpha}{2} \right )$.
В момент остановки конечная механическая энергия $W_{k} = 0$. Изменение механической энергии равно работе сил трения на горизонтальном участке ВС: $ \Delta W = A_{тр}$, где $A_{тр} = - \mu mgx$ ($x$ - расстояние, пройденное санками). Получаем уравнение: $- mgR \left ( 1 - \frac{ \cos \alpha}{2} \right ) = - \mu mgx \Rightarrow x = \frac{R}{ \mu} \left ( 1 - \frac{ \cos \alpha}{2} \right ) = \frac{3R}{4 \mu} = 50 м$.
Спуск с горы представляет собой дугу АВ окружности радиусом $R = 10 м$ с плавным выездом на горизонтальную поверхность ВС. Поверхность горы гладкая, а горизонтальная поверхность шероховатая с коэффициентом трения $\mu = 0,15$. На каком расстоянии от конца горы остановятся санки, если в точке А их полное ускорение равно по модулю $g$. Радиус, проведенный в точку А, образует с вертикалью угол $\alpha = 60^{ \circ}$.
Решение:
В точке А на санки действуют: сила тяжести $m \vec{g}$ и сила реакции $\vec{N}$. В направлении X (по радиусу к центру) эти силы сообщают санкам центростремительное ускорение $\vec{a}_{n}$ ( $a_{n} = \frac{v_{A}^{2}}{R}$). В направлении Y (по касательной к окружности) эти силы сообщают тангенциальное ускорение $\vec{a}_{ \tau}$, причем $ mg \sin \alpha = m a_{ \tau} \Rightarrow a_{ \tau} = g \sin \alpha$.
Так как модуль полного ускорения $a^{2} = a_{n}^{2} + a_{ \tau}^{2} \Rightarrow a_{n} = \sqrt{ a^{2} - a_{ \tau}^{2}} = \sqrt{ g^{2} - g^{2} \sin^{2} \alpha} = g \sqrt{1 - \sin^{2} \alpha} = g \cos \alpha$.
Из равенства $\frac{v_{A}^{2}}{R} = g \cos \alpha$ находим квадрат скорости в точке А: $v_{A}^{2} = Rg \cos \alpha$.
В точке А механическая энергия равна сумме кинетической $W_{kA} = \frac{mv_{A}^{2}}{2}$ и потенциальной $W_{pA} = mgh$ (рис.)
Определяем высоту $h$:
$h = A_{1}B = OB - OA_{1} = R - R \cos \alpha = R (1 - \cos \alpha)$.
Итак, механическая энергия з точке А:
$W_{A} = \frac{mv_{A}^{2}}{2} + mgR ( 1 - \cos \alpha) = \frac{mRg \cos \alpha }{2} + mgR(1 - \cos \alpha) = mgR \left ( \frac{ \cos \alpha}{2} + 1 - \cos \alpha \right ) = mgR \left ( 1 - \frac{ \cos \alpha}{2} \right )$.
В момент остановки конечная механическая энергия $W_{k} = 0$. Изменение механической энергии равно работе сил трения на горизонтальном участке ВС: $ \Delta W = A_{тр}$, где $A_{тр} = - \mu mgx$ ($x$ - расстояние, пройденное санками). Получаем уравнение: $- mgR \left ( 1 - \frac{ \cos \alpha}{2} \right ) = - \mu mgx \Rightarrow x = \frac{R}{ \mu} \left ( 1 - \frac{ \cos \alpha}{2} \right ) = \frac{3R}{4 \mu} = 50 м$.
