Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3055
2017-04-24 
Тележка массой $m$ совершает мертвую петлю, скатываясь с минимально необходимой для этого высоты (рис.). С какой силой тележка давит на рельсы в точке А, радиус-вектор которой составляет угол $\alpha$ с вертикалью? Трением пренебречь.
Решение:
Прежде всего выясним, какова минимальная высота, необходимая для совершения тележкой мертвой петли. Для этого должны выполняться следующие условия:
1.Тележка должна оказаться в точке В . Механическая энергия в начальной точке движения $W_{C} = mgH$. В точке В механическая энергия $W_{B} = mg \cdot 2R + \frac{mv_{B}^{2}}{2}$. Так как трения нет, то $W_{C} = W_{B}$ или $mgH = mg \cdot 2R + \frac{mv_{B}^{2}}{2}$ (1)
2.В точке В тележка должна обладать центростремительным ускорением необходимым для движения по окружности радиусом $R$. В точке В на тележку действуют: сила тяжести $m \vec{g}$ и сита реакции опоры $\vec{N}^{ \prime}$, которые сообщают тележке центростремительное ускорение $a_{n}$. По второму закону Ньютона $mg + N^{ \prime} = ma_{n} = m \frac{v_{B}^{2}}{R}$ (2). Как видно из уравнений (1) и (2), минимум высоты соответствует $N^{ \prime} = 0$.
Из уравнения (2) $mv_{B}^{2} = mgR$. После подстановки в (1) получим: $mgH = 2mgR + \frac{mgR}{2} \Rightarrow H = \frac{5R}{2}$.
Из рис. следует, что точка А находится на высоте $R + R \cos \alpha = R(1 + \cos \alpha)$. Механическая энергия тележки в точке А : $W_{A} = mgR (1 + \cos \alpha ) + \frac{mv_{A}^{2}}{2}$, а в точке С. $W_{C} = mgH = mg \cdot \frac{5}{2} R$. Так как $W_{C} = W_{A}$, то $mg \cdot \frac{5}{2} R = mgR (1 + \cos \alpha) + \frac{mv_{A}^{2}}{2} \Rightarrow v_{A}^{2} = gR (3 - 3 \cos \alpha)$ (3).
В точке А на тележку действуют: сила тяжести $m \vec{g}$ и сила реакции опоры, $\vec{N}$, направленная по радиусу к центру. Эти силы сообщают тележке центростремительное ускорение $a_{n}$. Спроецировав силы на ось, направленную по радиусу к центру, получаем: $mg \cos \alpha + N = ma_{n} = m \frac{v_{A}^{2}}{R} \Rightarrow N = m \frac{v_{A}^{2}}{R} - mg \cos \alpha = \frac{mgR (3 - 2 \cos \alpha )}{R} - mg \cos \alpha = 3mg ( 1 - \cos \alpha) = 6mg \sin^{2} \frac{ \alpha}{2}$. По третьему закону Ньютона с такой же по модулю силой тележка давит на рельсы.
Тележка массой $m$ совершает мертвую петлю, скатываясь с минимально необходимой для этого высоты (рис.). С какой силой тележка давит на рельсы в точке А, радиус-вектор которой составляет угол $\alpha$ с вертикалью? Трением пренебречь.
Решение:
Прежде всего выясним, какова минимальная высота, необходимая для совершения тележкой мертвой петли. Для этого должны выполняться следующие условия:
1.Тележка должна оказаться в точке В . Механическая энергия в начальной точке движения $W_{C} = mgH$. В точке В механическая энергия $W_{B} = mg \cdot 2R + \frac{mv_{B}^{2}}{2}$. Так как трения нет, то $W_{C} = W_{B}$ или $mgH = mg \cdot 2R + \frac{mv_{B}^{2}}{2}$ (1)
2.В точке В тележка должна обладать центростремительным ускорением необходимым для движения по окружности радиусом $R$. В точке В на тележку действуют: сила тяжести $m \vec{g}$ и сита реакции опоры $\vec{N}^{ \prime}$, которые сообщают тележке центростремительное ускорение $a_{n}$. По второму закону Ньютона $mg + N^{ \prime} = ma_{n} = m \frac{v_{B}^{2}}{R}$ (2). Как видно из уравнений (1) и (2), минимум высоты соответствует $N^{ \prime} = 0$.
Из уравнения (2) $mv_{B}^{2} = mgR$. После подстановки в (1) получим: $mgH = 2mgR + \frac{mgR}{2} \Rightarrow H = \frac{5R}{2}$.
Из рис. следует, что точка А находится на высоте $R + R \cos \alpha = R(1 + \cos \alpha)$. Механическая энергия тележки в точке А : $W_{A} = mgR (1 + \cos \alpha ) + \frac{mv_{A}^{2}}{2}$, а в точке С. $W_{C} = mgH = mg \cdot \frac{5}{2} R$. Так как $W_{C} = W_{A}$, то $mg \cdot \frac{5}{2} R = mgR (1 + \cos \alpha) + \frac{mv_{A}^{2}}{2} \Rightarrow v_{A}^{2} = gR (3 - 3 \cos \alpha)$ (3).
В точке А на тележку действуют: сила тяжести $m \vec{g}$ и сила реакции опоры, $\vec{N}$, направленная по радиусу к центру. Эти силы сообщают тележке центростремительное ускорение $a_{n}$. Спроецировав силы на ось, направленную по радиусу к центру, получаем: $mg \cos \alpha + N = ma_{n} = m \frac{v_{A}^{2}}{R} \Rightarrow N = m \frac{v_{A}^{2}}{R} - mg \cos \alpha = \frac{mgR (3 - 2 \cos \alpha )}{R} - mg \cos \alpha = 3mg ( 1 - \cos \alpha) = 6mg \sin^{2} \frac{ \alpha}{2}$. По третьему закону Ньютона с такой же по модулю силой тележка давит на рельсы.
