Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3054
2017-04-24 
На горизонтальной поверхности находится гладкая полусфера радиусом $R$. С верхней ее точки без начальной скорости соскальзывает тело. Определить время движения тела после отрыва от полусферы.
Решение:
Во время скольжения тела по полусфере на него действуют сила тяжести $m \vec{g}$ и сила реакции $\vec{N}$, направленная вдоль продолжения радиуса. Равнодействующая этих сил сообщает телу центростремительное ускорение $a_{n} = \frac{v^{2}}{R}$. направленное к центру полусферы ($v$ - скорость в какой-либо точке полусферы). Спроецировав силы на ось X по второму закону Ньютона получаем
$mg \cos \alpha - N = m \left ( \frac{v^{2}}{R} \right ) \Rightarrow N = mg \cos \alpha - m \frac{v^{2}}{R}$ (1)
Так как скорость тела возрастает, то в некоторой точке $\vec{N}$ обратится в ноль. т.е. тело оторвется от поверхности полусферы.
Пусть высота, на которой происходит отрыв, равна $h$. Механическая энергия тела в верхней точке движения $W_{1} = mgR$. Механическая энергия в точке отрыва $W_{2} = mgh + \frac{mv^{2}}{2}$. Так как трения нет, то $W_{1} = W_{2} \Rightarrow mgR = mgh + \frac{mv^{2}}{2} \Rightarrow v^{2} = 2g(R-h)$ (2).
В $\Delta OAB ~ OA = R$, а $AB = h$. поэтому. $\cos \alpha = \frac{AB}{OA} = \frac{h}{R}$ (3). Подставив значения $v^{2}$ и $\cos \alpha$ из уравнении (2) и (3) в уравнение (1), получим:
$0 = mg \frac{h}{R} - n \frac{2g (R- h)}{R}$ (в точке отрыва $N = 0$) $\Rightarrow 2(R -h) = h \Rightarrow h = \frac{2}{3} R$.
В момент отрыва скорость тела $v = \sqrt{2g(R-h)} = \sqrt{2g \frac{1}{3}R} = \sqrt{ \frac{2}{3} gR}$;
$\cos \alpha = \frac{h}{R} = \frac{2}{3} \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^{2} \alpha} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{ \sqrt{5}}{3}$.
После отрыва от полусферы движение происходит только под действием силы тяжести, причем скорость тела $\vec{v} = \vec{v}_{0}$ сначала направлена под углом а к горизонту (рис.). Значит, тело движется по параболе.
Начальные координаты тела:
$x_{0} = 0, y_{0} = 0$. Начальные скорости:$v_{0x} = v_{0} \cos \alpha, v_{0y} = v_{0} \sin \alpha$. Закон движения по оси Y:
$y(t) = y_{0} + v_{0y} t + \frac{a_{y}t^{2}}{2} = v_{0} \in \alpha \cdot t + \frac{gt^{2}}{2}$. В момент падения $y(t_{п}) = h \Rightarrow v_{0} \sin \alpha \cdot t_{п} + \frac{gt_{п}^{2}}{2} = h$, где $t_{п}$ - искомое время. Получаем квадратное уравнение:
$gt_{п}^{2} + 2v_{0} \sin \alpha \cdot t_{п} - 2h = 0$ корни которого:
$t_{п} = \frac{- v_{0} \sin \alpha \pm \sqrt{(v_{0} \sin \alpha)^{2} + 2gh}}{g}$. Берем положительный корень: $t_{п} = t_{п} = \frac{- v_{0} \sin \alpha + \sqrt{(v_{0} \sin \alpha)^{2} + 2gh}}{g} = \frac{v_{0} \sin \alpha}{g} \left ( \sqrt{ 1 + \frac{2gh}{(v_{0} \sin \alpha)^{2}}} - 1 \right ) \approx 0,7 \sqrt{ \frac{R}{g}}$.
На горизонтальной поверхности находится гладкая полусфера радиусом $R$. С верхней ее точки без начальной скорости соскальзывает тело. Определить время движения тела после отрыва от полусферы.
Решение:
Во время скольжения тела по полусфере на него действуют сила тяжести $m \vec{g}$ и сила реакции $\vec{N}$, направленная вдоль продолжения радиуса. Равнодействующая этих сил сообщает телу центростремительное ускорение $a_{n} = \frac{v^{2}}{R}$. направленное к центру полусферы ($v$ - скорость в какой-либо точке полусферы). Спроецировав силы на ось X по второму закону Ньютона получаем
$mg \cos \alpha - N = m \left ( \frac{v^{2}}{R} \right ) \Rightarrow N = mg \cos \alpha - m \frac{v^{2}}{R}$ (1)
Так как скорость тела возрастает, то в некоторой точке $\vec{N}$ обратится в ноль. т.е. тело оторвется от поверхности полусферы.
Пусть высота, на которой происходит отрыв, равна $h$. Механическая энергия тела в верхней точке движения $W_{1} = mgR$. Механическая энергия в точке отрыва $W_{2} = mgh + \frac{mv^{2}}{2}$. Так как трения нет, то $W_{1} = W_{2} \Rightarrow mgR = mgh + \frac{mv^{2}}{2} \Rightarrow v^{2} = 2g(R-h)$ (2).
В $\Delta OAB ~ OA = R$, а $AB = h$. поэтому. $\cos \alpha = \frac{AB}{OA} = \frac{h}{R}$ (3). Подставив значения $v^{2}$ и $\cos \alpha$ из уравнении (2) и (3) в уравнение (1), получим:
$0 = mg \frac{h}{R} - n \frac{2g (R- h)}{R}$ (в точке отрыва $N = 0$) $\Rightarrow 2(R -h) = h \Rightarrow h = \frac{2}{3} R$.
В момент отрыва скорость тела $v = \sqrt{2g(R-h)} = \sqrt{2g \frac{1}{3}R} = \sqrt{ \frac{2}{3} gR}$;
$\cos \alpha = \frac{h}{R} = \frac{2}{3} \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^{2} \alpha} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{ \sqrt{5}}{3}$.
После отрыва от полусферы движение происходит только под действием силы тяжести, причем скорость тела $\vec{v} = \vec{v}_{0}$ сначала направлена под углом а к горизонту (рис.). Значит, тело движется по параболе.
Начальные координаты тела:
$x_{0} = 0, y_{0} = 0$. Начальные скорости:$v_{0x} = v_{0} \cos \alpha, v_{0y} = v_{0} \sin \alpha$. Закон движения по оси Y:
$y(t) = y_{0} + v_{0y} t + \frac{a_{y}t^{2}}{2} = v_{0} \in \alpha \cdot t + \frac{gt^{2}}{2}$. В момент падения $y(t_{п}) = h \Rightarrow v_{0} \sin \alpha \cdot t_{п} + \frac{gt_{п}^{2}}{2} = h$, где $t_{п}$ - искомое время. Получаем квадратное уравнение:
$gt_{п}^{2} + 2v_{0} \sin \alpha \cdot t_{п} - 2h = 0$ корни которого:
$t_{п} = \frac{- v_{0} \sin \alpha \pm \sqrt{(v_{0} \sin \alpha)^{2} + 2gh}}{g}$. Берем положительный корень: $t_{п} = t_{п} = \frac{- v_{0} \sin \alpha + \sqrt{(v_{0} \sin \alpha)^{2} + 2gh}}{g} = \frac{v_{0} \sin \alpha}{g} \left ( \sqrt{ 1 + \frac{2gh}{(v_{0} \sin \alpha)^{2}}} - 1 \right ) \approx 0,7 \sqrt{ \frac{R}{g}}$.
