Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3053
2017-04-24 
Груз массой $m$, привязанный, к нерастяжимой нити, вращается в вертикальной плоскости. Найти разность сил натяжения нити в нижней и верхней точках траектории.
Решение:
В нижней точке окружности (точка А) к грузу приложены силы: сила тяжести $m \vec{g}$ и сила натяжения нити $\vec{T}_{A}$, которые сообщают ему центростремительное ускорение $a_{n} = \frac{v_{A}^{2}}{R}$, где $v_{A}$ - скорость груза в точке А, $R$ - длина нити. По второму закону Ньютона
$T_{A} - mg = m \frac{v_{A}^{2}}{R} \Rightarrow T_{A} = mg + m \frac{v_{A}^{2}}{R}$.
В точке В к грузу приложены силы: сила натяжения нити $\vec{T}_{B}$ и сила тяжести $m \vec{g}$, сообщающие грузу центростремительное ускорение $a_{n} = \frac{v_{B}^{2}}{R}$. По второмy Ньютона $T_{B} + mg = m \frac{v_{B}^{2}}{R} \Rightarrow T_{B} = m \frac{v_{B}^{2}}{R} - mg$. Поэтому $T_{A} - T_{B} = 2mg + \frac{mv_{A}^{2}}{R} - \frac{mv_{B}^{2}}{R} = 2mg + \frac{m}{R} (v_{A}^{2} - v_{B}^{2})$ (1).
В точке А механическая энергия груза равна его кинетической энергии: $W_{A} = m \frac{v_{A}^{2}}{2}$. В точке В механическая энергия есть сумма потенциальной и кинетической энергий: $W_{B} = mg \cdot 2R + m \frac{v_{B}^{2}}{2}$. В процессе движения на груз действуют: консервативная сила $m \vec{g}$ и сила натяжения нити $\vec{T}$. Ее модуль изменяется от точки к точке, но на любом бесконечно малом перемещении вектор силы натяжения перпендикулярен вектору перемещения. Работа силы натяжения нити при перемещении по любой дуге окружности равна нулю. Следовательно механическая энергия груза сохраняется: $W_{A} = W_{B} \Rightarrow m \frac{v_{A}^{2}}{2} = 2mg R + m \frac{v_{B}^{2}}{2} \Leftrightarrow m \frac{v_{A}^{2}}{2} - m \frac{v_{B}^{2}}{2} = 2mgR \Leftrightarrow v_{A}^{2} - v_{B}^{2} = 4gR$. Подставив в (1), найдем, что
$T_{A} - T_{B} = 2mg + \frac{m}{R} (v_{A}^{2} - v_{B}^{2}) = 2mg + \frac{m}{R} (4gR) = 6mg$.
Груз массой $m$, привязанный, к нерастяжимой нити, вращается в вертикальной плоскости. Найти разность сил натяжения нити в нижней и верхней точках траектории.
Решение:
В нижней точке окружности (точка А) к грузу приложены силы: сила тяжести $m \vec{g}$ и сила натяжения нити $\vec{T}_{A}$, которые сообщают ему центростремительное ускорение $a_{n} = \frac{v_{A}^{2}}{R}$, где $v_{A}$ - скорость груза в точке А, $R$ - длина нити. По второму закону Ньютона
$T_{A} - mg = m \frac{v_{A}^{2}}{R} \Rightarrow T_{A} = mg + m \frac{v_{A}^{2}}{R}$.
В точке В к грузу приложены силы: сила натяжения нити $\vec{T}_{B}$ и сила тяжести $m \vec{g}$, сообщающие грузу центростремительное ускорение $a_{n} = \frac{v_{B}^{2}}{R}$. По второмy Ньютона $T_{B} + mg = m \frac{v_{B}^{2}}{R} \Rightarrow T_{B} = m \frac{v_{B}^{2}}{R} - mg$. Поэтому $T_{A} - T_{B} = 2mg + \frac{mv_{A}^{2}}{R} - \frac{mv_{B}^{2}}{R} = 2mg + \frac{m}{R} (v_{A}^{2} - v_{B}^{2})$ (1).
В точке А механическая энергия груза равна его кинетической энергии: $W_{A} = m \frac{v_{A}^{2}}{2}$. В точке В механическая энергия есть сумма потенциальной и кинетической энергий: $W_{B} = mg \cdot 2R + m \frac{v_{B}^{2}}{2}$. В процессе движения на груз действуют: консервативная сила $m \vec{g}$ и сила натяжения нити $\vec{T}$. Ее модуль изменяется от точки к точке, но на любом бесконечно малом перемещении вектор силы натяжения перпендикулярен вектору перемещения. Работа силы натяжения нити при перемещении по любой дуге окружности равна нулю. Следовательно механическая энергия груза сохраняется: $W_{A} = W_{B} \Rightarrow m \frac{v_{A}^{2}}{2} = 2mg R + m \frac{v_{B}^{2}}{2} \Leftrightarrow m \frac{v_{A}^{2}}{2} - m \frac{v_{B}^{2}}{2} = 2mgR \Leftrightarrow v_{A}^{2} - v_{B}^{2} = 4gR$. Подставив в (1), найдем, что
$T_{A} - T_{B} = 2mg + \frac{m}{R} (v_{A}^{2} - v_{B}^{2}) = 2mg + \frac{m}{R} (4gR) = 6mg$.
