Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3052
2017-04-24 
Гладкий горизонтальный стержень АВ может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец А. На стержне находится небольшое тело массой $m$, соединенное невесомой пружиной длиной $l_{0}$ с концом А. Коэффициент жесткости пружины равен $k$. Какую работу надо совершить, чтобы эту систему медленно раскрутить до угловой скорости $\omega$?.
Решение:
Пусть стержень и тело вращаются с угловой скоростью $\omega$. Пружина в этом случае оказывается деформированной (растянутой), и ее длина $l > l_{0}$. На тело действуют силы: сила тяжести $m \vec{g}$, сила реакции со стороны стержня $\vec{N}$ и сила упругости пружины $\vec{F}_{y}$ (ее модуль по закону Гука $F_{y} = k(l-l_{0})$ ). Направим ось X, как показано на рис.. По второму закону Ньютона $F_{y} = ma_{n}$, где $a_{n} = \omega^{2} l$ - центростремительное ускорение тела. Из уравнения $k(l - l_{0}) = m \omega^{2} l$ находим длину растянутой пружины: $l = \frac{kl_{0}}{k - m \omega^{2}}$.
Вращающееся тело обладает механической энергией $W = W_{y} + W_{k}$, где $W_{k}$ - его кинетическая энергия, а $W_{y}$ - потенциальная энергия упругой деформации.
$W_{k} = \frac{mv^{2}}{2} = \frac{m ( \omega l)^{2}}{2} = \frac{m \omega^{2}}{2} \left ( \frac{kl_{0}}{k - m \omega^{2}} \right )^{2} = \frac{m \omega^{2} l_{0}^{2}}{2} \left ( \frac{k}{k- m \omega^{2}} \right )^{2}$.
$W_{y} = \frac{k(l - l_{0})^{2}}{2} = \frac{k}{2} \left ( \frac{kl_{0}}{k - m \omega^{2}} - l_{0} \right )^{2} = \frac{kl_{0}^{2}}{2} \left ( \frac{m \omega^{2}}{ k - m \omega^{2}} \right )^{2}$.
Механическая энергия тела $W = W_{y} + W_{k} = \frac{ m \omega^{2} l_{0}^{2}}{2} \left ( \frac{k}{k - m \omega^{2}} \right )^{2} + \frac{kl_{0}^{2}}{2} \left ( \frac{m \omega^{2}}{k - m \omega^{2}} \right )^{2} = \frac{m \omega^{2} l_{0}^{2}}{2} \cdot \frac{k^{2} + km \omega^{2}}{ (k - m \omega^{2})^{2}} = \frac{m \omega^{2} l_{0}^{2}}{2} \left ( \frac{1 + m \omega^{2}/k}{(1 - m \omega^{2} /k)^{2}} \right )$.
Эту энергию тело приобретает за счет работы внешних сил. Искомая работа $A = W = \frac{m \omega^{2} l_{0}^{2}}{2} \left ( \frac{1 + m \omega^{2} /k}{(1 - m \omega^{2}/k)^{2}} \right )$.
Гладкий горизонтальный стержень АВ может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец А. На стержне находится небольшое тело массой $m$, соединенное невесомой пружиной длиной $l_{0}$ с концом А. Коэффициент жесткости пружины равен $k$. Какую работу надо совершить, чтобы эту систему медленно раскрутить до угловой скорости $\omega$?.
Решение:
Пусть стержень и тело вращаются с угловой скоростью $\omega$. Пружина в этом случае оказывается деформированной (растянутой), и ее длина $l > l_{0}$. На тело действуют силы: сила тяжести $m \vec{g}$, сила реакции со стороны стержня $\vec{N}$ и сила упругости пружины $\vec{F}_{y}$ (ее модуль по закону Гука $F_{y} = k(l-l_{0})$ ). Направим ось X, как показано на рис.. По второму закону Ньютона $F_{y} = ma_{n}$, где $a_{n} = \omega^{2} l$ - центростремительное ускорение тела. Из уравнения $k(l - l_{0}) = m \omega^{2} l$ находим длину растянутой пружины: $l = \frac{kl_{0}}{k - m \omega^{2}}$.
Вращающееся тело обладает механической энергией $W = W_{y} + W_{k}$, где $W_{k}$ - его кинетическая энергия, а $W_{y}$ - потенциальная энергия упругой деформации.
$W_{k} = \frac{mv^{2}}{2} = \frac{m ( \omega l)^{2}}{2} = \frac{m \omega^{2}}{2} \left ( \frac{kl_{0}}{k - m \omega^{2}} \right )^{2} = \frac{m \omega^{2} l_{0}^{2}}{2} \left ( \frac{k}{k- m \omega^{2}} \right )^{2}$.
$W_{y} = \frac{k(l - l_{0})^{2}}{2} = \frac{k}{2} \left ( \frac{kl_{0}}{k - m \omega^{2}} - l_{0} \right )^{2} = \frac{kl_{0}^{2}}{2} \left ( \frac{m \omega^{2}}{ k - m \omega^{2}} \right )^{2}$.
Механическая энергия тела $W = W_{y} + W_{k} = \frac{ m \omega^{2} l_{0}^{2}}{2} \left ( \frac{k}{k - m \omega^{2}} \right )^{2} + \frac{kl_{0}^{2}}{2} \left ( \frac{m \omega^{2}}{k - m \omega^{2}} \right )^{2} = \frac{m \omega^{2} l_{0}^{2}}{2} \cdot \frac{k^{2} + km \omega^{2}}{ (k - m \omega^{2})^{2}} = \frac{m \omega^{2} l_{0}^{2}}{2} \left ( \frac{1 + m \omega^{2}/k}{(1 - m \omega^{2} /k)^{2}} \right )$.
Эту энергию тело приобретает за счет работы внешних сил. Искомая работа $A = W = \frac{m \omega^{2} l_{0}^{2}}{2} \left ( \frac{1 + m \omega^{2} /k}{(1 - m \omega^{2}/k)^{2}} \right )$.
