Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3051
2017-04-24 
Две звезды движутся вокруг общего центра масс с постоянными по модулю скоростями $v_{1}$ и $v_{2}$ и периодом $T$. Найти массу звезд и расстояние между ними.
Решение:
Положение центра масс двух тел массой $m_{1}$ и $m_{2}$, расположенных на расстоянии $L$, которую определим,
$l_{1} = \frac{m_{2}L}{m_{1} + m_{2}}$, а $l_{2} = \frac{m_{1}L}{m_{1} + m_{2}}$. Когда речь идет о вращении планеты вокруг звезды, то масса звезды много больше массы планеты $m_{1} \gg m_{2} \Leftrightarrow \frac{m_{2}}{m_{1}} \rightarrow 0$.Поэтому $l_{1} = \frac{ \frac{m_{2}}{m_{1}} L}{ 1 + \frac{m_{2}}{m_{1}}} \rightarrow 0$, т.е. центр масс такой системы совпадает со звездой, и вращение планеты происходит вокруг звезды. В нашей задаче массы звезд сравнимы, поэтому вращение происходит вокруг точки С, удаленной от звезд на расстояния $l_{1}$ и $l_{2}$. Итак, звезда массой $m_{1}$ движется по окружности радиусом $l_{1}$ с центром в точке С. За период $T$ звезда совершает полный оборот, проходя путь, равный длине окружности $2 \pi l_{1}$. Модуль ее скорости $v_{1} = \frac{2 \pi l_{1}}{T} \Rightarrow l_{1} = \frac{v_{1}T}{2 \pi} $. Аналогично находим радиус окружности, по которой движется звезда массой $m_{2}$: $l_{2} = \frac{v_{2}T}{2 \pi}$. Расстояние между звездами
$L = l_{1} + l_{2} = \frac{T}{2 \pi} (v_{1} + v_{2})$.
На звезду массой $m_{1}$ действует гравитационная сила $F_{r} = G \frac{m_{1}m_{2}}{L^{2}}$, которая сообщает ей центростремительное ускорение $a_{n} = \frac{v_{1}^{2}}{l_{1}}$ (рис.). По второму закону Ньютона $F_{r} = m_{1}a_{n} \Rightarrow G \frac{m_{1}m_{2}}{L^{2}} = m_{1} \frac{v_{1}^{2}}{l_{1}} \Leftrightarrow m_{2} = v_{1}^{2} \frac{L^{2}}{l_{1}G} = \frac{v_{1}T}{2 \pi G} (v_{1} + v_{2})^{2}$.
На звезду массой $m_{2}$ действует такая же по модулю гравитационная сила $G \frac{m_{1}m_{2}}{L^{2}}$, которая сообщает ей центростремительное ускорение $\frac{v_{2}^{2}}{l_{2}}$. Получаем уравнение:
$G \frac{m_{1}m_{2}}{L^{2}} = m_{2} \frac{v_{2}^{2}}{l_{2}} \Leftrightarrow m_{1} = v_{1}^{2} \frac{L^{2}}{ l_{2}G} = \frac{v_{2}T}{2 \pi G} (v_{1} + v_{2})^{2}$.
Две звезды движутся вокруг общего центра масс с постоянными по модулю скоростями $v_{1}$ и $v_{2}$ и периодом $T$. Найти массу звезд и расстояние между ними.
Решение:
Положение центра масс двух тел массой $m_{1}$ и $m_{2}$, расположенных на расстоянии $L$, которую определим,
$l_{1} = \frac{m_{2}L}{m_{1} + m_{2}}$, а $l_{2} = \frac{m_{1}L}{m_{1} + m_{2}}$. Когда речь идет о вращении планеты вокруг звезды, то масса звезды много больше массы планеты $m_{1} \gg m_{2} \Leftrightarrow \frac{m_{2}}{m_{1}} \rightarrow 0$.Поэтому $l_{1} = \frac{ \frac{m_{2}}{m_{1}} L}{ 1 + \frac{m_{2}}{m_{1}}} \rightarrow 0$, т.е. центр масс такой системы совпадает со звездой, и вращение планеты происходит вокруг звезды. В нашей задаче массы звезд сравнимы, поэтому вращение происходит вокруг точки С, удаленной от звезд на расстояния $l_{1}$ и $l_{2}$. Итак, звезда массой $m_{1}$ движется по окружности радиусом $l_{1}$ с центром в точке С. За период $T$ звезда совершает полный оборот, проходя путь, равный длине окружности $2 \pi l_{1}$. Модуль ее скорости $v_{1} = \frac{2 \pi l_{1}}{T} \Rightarrow l_{1} = \frac{v_{1}T}{2 \pi} $. Аналогично находим радиус окружности, по которой движется звезда массой $m_{2}$: $l_{2} = \frac{v_{2}T}{2 \pi}$. Расстояние между звездами
$L = l_{1} + l_{2} = \frac{T}{2 \pi} (v_{1} + v_{2})$.
На звезду массой $m_{1}$ действует гравитационная сила $F_{r} = G \frac{m_{1}m_{2}}{L^{2}}$, которая сообщает ей центростремительное ускорение $a_{n} = \frac{v_{1}^{2}}{l_{1}}$ (рис.). По второму закону Ньютона $F_{r} = m_{1}a_{n} \Rightarrow G \frac{m_{1}m_{2}}{L^{2}} = m_{1} \frac{v_{1}^{2}}{l_{1}} \Leftrightarrow m_{2} = v_{1}^{2} \frac{L^{2}}{l_{1}G} = \frac{v_{1}T}{2 \pi G} (v_{1} + v_{2})^{2}$.
На звезду массой $m_{2}$ действует такая же по модулю гравитационная сила $G \frac{m_{1}m_{2}}{L^{2}}$, которая сообщает ей центростремительное ускорение $\frac{v_{2}^{2}}{l_{2}}$. Получаем уравнение:
$G \frac{m_{1}m_{2}}{L^{2}} = m_{2} \frac{v_{2}^{2}}{l_{2}} \Leftrightarrow m_{1} = v_{1}^{2} \frac{L^{2}}{ l_{2}G} = \frac{v_{2}T}{2 \pi G} (v_{1} + v_{2})^{2}$.
