Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3044
2017-04-24 
Нить, намотанную на ось катушки, тянут со скоростью $u$ под углом $\alpha$ к горизонту. Катушка катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания. Найти скорость поступательного движения оси катушки и ее угловую скорость вращения. Определить скорость и ускорение точки А. Радиус внутренней части катушки - $r$, внешней - $R$.
Решение:
Любая точка катушки участвует в двух движениях: равномерном прямолинейном со скоростью $\vec{v}$ оси катушки и вращательном относительно оси катушки с угловой скоростью $\omega$. Если нить расположена так, как показано на рис., то катушка смещается вправо, вращаясь при этом по часовой стрелке. В - точка, в которой нить касается внутренней части катушки. Скорость поступательного движения точки В равна скорости оси обруча $v$, скорость вращательного движения точки В равна $\omega r$. По условию задачи проекция полной скорости точки В на направление нити равна $u$, поэтому v \cos \alpha - \omega r = u$. Скорость поступательного движения точки С равна $u$, вращательного - $\omega R$. Так как проскальзывания нет, та $v - \omega R = 0$. Получаем систему:
$\begin{cases} v \cos \alpha - \omega r = u,\\ v - \omega R = 0, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} v = \omega R,\\ \omega R \cos \alpha - \omega r = u, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} v = \frac{uR}{R \cos \alpha - r},\\ \omega = \frac{u}{R \cos \alpha - r}. \end{cases}$
Равенство $R \cos \alpha = r$ выполняется, когда продолжение нити проходит через точку С (рис.).
В этом случае выражения для $v$ и $\omega$ не определены, что соответствует вращению катушки на месте. При $R \cos \alpha < r$ (рис.) ось катушки смещается влево, а катушка вращается против часовой стрелки.
Скорость поступательного движения точки А равна $v$, вращательного - $\omega R = v_{вр} = v$ (так как нет проскальзывания). Полная скорость есть векторная сумма этих скоростей, и, как следует из рис., равна $v \sqrt{2} = \frac{uR \sqrt{2}}{R \cos \alpha - r}$. Направлена эта скорость под углом $45^{ \circ}$ к горизонту.
Для вычисления ускорения точки А можно воспользоваться методикой вычисления ускорения точек обруча, тогда получим
$a = \frac{v^{2}}{R} = \frac{u^{2}R}{(R \cos \alpha - r)^{2}}$.
Нить, намотанную на ось катушки, тянут со скоростью $u$ под углом $\alpha$ к горизонту. Катушка катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания. Найти скорость поступательного движения оси катушки и ее угловую скорость вращения. Определить скорость и ускорение точки А. Радиус внутренней части катушки - $r$, внешней - $R$.
Решение:
Любая точка катушки участвует в двух движениях: равномерном прямолинейном со скоростью $\vec{v}$ оси катушки и вращательном относительно оси катушки с угловой скоростью $\omega$. Если нить расположена так, как показано на рис., то катушка смещается вправо, вращаясь при этом по часовой стрелке. В - точка, в которой нить касается внутренней части катушки. Скорость поступательного движения точки В равна скорости оси обруча $v$, скорость вращательного движения точки В равна $\omega r$. По условию задачи проекция полной скорости точки В на направление нити равна $u$, поэтому v \cos \alpha - \omega r = u$. Скорость поступательного движения точки С равна $u$, вращательного - $\omega R$. Так как проскальзывания нет, та $v - \omega R = 0$. Получаем систему:
$\begin{cases} v \cos \alpha - \omega r = u,\\ v - \omega R = 0, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} v = \omega R,\\ \omega R \cos \alpha - \omega r = u, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} v = \frac{uR}{R \cos \alpha - r},\\ \omega = \frac{u}{R \cos \alpha - r}. \end{cases}$
Равенство $R \cos \alpha = r$ выполняется, когда продолжение нити проходит через точку С (рис.).
В этом случае выражения для $v$ и $\omega$ не определены, что соответствует вращению катушки на месте. При $R \cos \alpha < r$ (рис.) ось катушки смещается влево, а катушка вращается против часовой стрелки.
Скорость поступательного движения точки А равна $v$, вращательного - $\omega R = v_{вр} = v$ (так как нет проскальзывания). Полная скорость есть векторная сумма этих скоростей, и, как следует из рис., равна $v \sqrt{2} = \frac{uR \sqrt{2}}{R \cos \alpha - r}$. Направлена эта скорость под углом $45^{ \circ}$ к горизонту.
Для вычисления ускорения точки А можно воспользоваться методикой вычисления ускорения точек обруча, тогда получим
$a = \frac{v^{2}}{R} = \frac{u^{2}R}{(R \cos \alpha - r)^{2}}$.
