Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3042
2017-04-24 
Два идеально гладких шара одинакового радиуса и массы покоятся, касаясь друг друга, на гладкой горизонтальной поверхности. Третий шар того же радиуса и массы налетает на них со скоростью $v_{0}$, двигаясь по той же поверхности вдоль прямой, касающейся обоих шаров. Найти скорости шаров после столкновения.
Решение:
Пусть $v$ - скорость третьего шара, а $u$ - модуль скорости первого и второго шаров после столкновения. $\Delta OO_{1}O_{2}$ - равносторонний, поэтому $\angle O_{1}OO_{2} = 60^{ \circ}$.
При абсолютно упругом столкновении сохраняется механическая энергия системы и ее импульс. Механическая энергия системы до столкновения есть кинетическая энергия первого шара $W_{1} = \frac{mv_{0}^{2}}{2}$. Механическая энергия системы после столкновения $W_{2} = \frac{mv^{2}}{2} + 2 \frac{mu^{2}}{2} = \frac{mv^{2}}{2} + mu^{2}$.
Импульс системы до столкновения в направлении Х $P_{1x} = mv_{0}$, после столкновения - $P_{2x} = mv + 2mu \cos 30^{ \circ} = mv + \sqrt{3} mu$.
Так как $W_{1} = W_{2}$ и $P_{1x} = P_{2x}$, то получаем систему:
$\begin{cases} \frac{mv_{0}^{2}}{2} = \frac{mv^{2}}{2} + mu^{2}, \\ mv_{0} = mv + \sqrt{3} mu \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} v_{0}^{2} - v^{2} = 2u^{2}, \\ v_{0} - v = \sqrt{3}u \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (v_{0} - v) (v_{0} + v) = 2u^{2}, \\ v_{0} - v = \sqrt{3}u, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} v_{0} + v = \frac{2}{ \sqrt{3}}u, \\ v_{0} - v = \sqrt{3}u, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2v_{0} = \left ( \frac{2}{ \sqrt{3} + \sqrt{3}} \right ) u, \\ 2v = \left ( \frac{2}{ \sqrt{3}} - \sqrt{3} \right ) u, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u = \frac{2 \sqrt{3} v_{0}}{5}, \\ v = - \frac{v_{0}}{5}. \end{cases}$
Итак, третий шар после столкновения изменяет направление движения на противоположное.
Два идеально гладких шара одинакового радиуса и массы покоятся, касаясь друг друга, на гладкой горизонтальной поверхности. Третий шар того же радиуса и массы налетает на них со скоростью $v_{0}$, двигаясь по той же поверхности вдоль прямой, касающейся обоих шаров. Найти скорости шаров после столкновения.
Решение:
Пусть $v$ - скорость третьего шара, а $u$ - модуль скорости первого и второго шаров после столкновения. $\Delta OO_{1}O_{2}$ - равносторонний, поэтому $\angle O_{1}OO_{2} = 60^{ \circ}$.
При абсолютно упругом столкновении сохраняется механическая энергия системы и ее импульс. Механическая энергия системы до столкновения есть кинетическая энергия первого шара $W_{1} = \frac{mv_{0}^{2}}{2}$. Механическая энергия системы после столкновения $W_{2} = \frac{mv^{2}}{2} + 2 \frac{mu^{2}}{2} = \frac{mv^{2}}{2} + mu^{2}$.
Импульс системы до столкновения в направлении Х $P_{1x} = mv_{0}$, после столкновения - $P_{2x} = mv + 2mu \cos 30^{ \circ} = mv + \sqrt{3} mu$.
Так как $W_{1} = W_{2}$ и $P_{1x} = P_{2x}$, то получаем систему:
$\begin{cases} \frac{mv_{0}^{2}}{2} = \frac{mv^{2}}{2} + mu^{2}, \\ mv_{0} = mv + \sqrt{3} mu \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} v_{0}^{2} - v^{2} = 2u^{2}, \\ v_{0} - v = \sqrt{3}u \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (v_{0} - v) (v_{0} + v) = 2u^{2}, \\ v_{0} - v = \sqrt{3}u, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} v_{0} + v = \frac{2}{ \sqrt{3}}u, \\ v_{0} - v = \sqrt{3}u, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2v_{0} = \left ( \frac{2}{ \sqrt{3} + \sqrt{3}} \right ) u, \\ 2v = \left ( \frac{2}{ \sqrt{3}} - \sqrt{3} \right ) u, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u = \frac{2 \sqrt{3} v_{0}}{5}, \\ v = - \frac{v_{0}}{5}. \end{cases}$
Итак, третий шар после столкновения изменяет направление движения на противоположное.
