Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 303
2014-05-31 
Имеется воздушный конденсатор с вертикальными плоскопараллельными пластинами, расположенными друг от друга на расстоянии $d$, много меньшим линейных размеров пластин, между которыми поддерживается постоянная разность потенциалов $U_{0}$. Маленький металлический шарик массой $m$ подвешен на непроводящей нити посередине между пластинами (рис.). Длина нити $l$ много больше $d$. Шарик отклоняют от положения равновесия до соприкосновения с одной из пластин и отпускают. При соприкосновении с пластиной его заряд становится равным $q_{0}$. Найдите средний ток через конденсатор при условии, что удары шарика о пластины абсолютно неупругие, потенциалы шарика и пластины за время удара успевают сравняться, время удара много меньше времени движения шарика между пластинами. Считать, что величина $mgd/(q_{0}U_{0})$ не очень велика.
Решение:
Наибольший угол отклонения от вертикали $\alpha_{max}$ находится из равенства
$tg \: \alpha_{max} = \frac{d}{2l}$.
Так как, по условию задачи, величина отношения $d/l \ll 1$, то есть с достаточной степенью точности
$\alpha_{max} \approx \sin \alpha_{max} \approx tg \: \alpha_{max}=\frac{d}{2l}$.
Ввиду малости угла $\alpha_{max}$ справедливо допущение о том, что движение шарика осуществляется в горизонтальной плоскости.
Покажем, что для определения параметров движения шарика достаточно учитывать только силу, действующую на него со стороне электрического поля конденсатора:
$F_{эл}=q_{0} \frac{U_{0}}{d}$.
По II закону Ньютона уравнение движения шарика имеет вид
$m \bar{a}=F_{эл} + \bar{T}+m \bar{g}$, (1)
где $\bar{T}$ - сила натяжения нити. Учтем, что из-за малости угла а горизонтальная $T_{x}$ и вертикальная $T_{y}$ составляющие силы $\bar{T}$ определяются формулами
$T_{x}T= \sin \alpha \approx T \alpha, T_{y}=T \cos \alpha \approx T$.
Проецируя уравнение (1) на вертикальную ось получаем $T_{y} = mg \approx T$, так как считаем, что движение происходит только в горизонтальной плоскости. Проецируя же уравнение (1) на горизонтальную ось, получаем
$ma_{x}=q_{0} \frac{U_{0}}{d} + T_{x} \approx q_{0} \frac{U_{0}}{d} + T \alpha$.
Или
$\frac{ma_{x}d}{q_{0}U_{0}} = 1 + \frac{mgd}{q_{0}U_{0}} \alpha$. (2)
Так как $\alpha_{max} = d/(2l) \ll 1$, то вторым слагаемым в правой части уравнения движения (2) можно пренебречь.*
С учетом сделанного приближения
$a_{x} = q_{0} \frac{U_{0}}{md}$.
Итак, движение шарика между пластинами равноускоренное, поэтому
$x=\frac{a_{x}t^{2}}{2}=\frac{q_{0}U_{0}t^{2}}{2md}$.
Отсюда находим время одного прохода шарика между п ласти мим
конденсатора (в конце прохода $x=d$):
$t= \sqrt{ \frac{1d}{a_{x}}}= \sqrt{ \frac{2md^{2}}{q_{0}U_{0}}}$.
Таким образом,
$I = \frac{q_{0}}{t} = \sqrt{\frac{q_{0}^{3}U_{0}}{2md^{2}}}$.
Имеется воздушный конденсатор с вертикальными плоскопараллельными пластинами, расположенными друг от друга на расстоянии $d$, много меньшим линейных размеров пластин, между которыми поддерживается постоянная разность потенциалов $U_{0}$. Маленький металлический шарик массой $m$ подвешен на непроводящей нити посередине между пластинами (рис.). Длина нити $l$ много больше $d$. Шарик отклоняют от положения равновесия до соприкосновения с одной из пластин и отпускают. При соприкосновении с пластиной его заряд становится равным $q_{0}$. Найдите средний ток через конденсатор при условии, что удары шарика о пластины абсолютно неупругие, потенциалы шарика и пластины за время удара успевают сравняться, время удара много меньше времени движения шарика между пластинами. Считать, что величина $mgd/(q_{0}U_{0})$ не очень велика.
Решение:
Наибольший угол отклонения от вертикали $\alpha_{max}$ находится из равенства
$tg \: \alpha_{max} = \frac{d}{2l}$.
Так как, по условию задачи, величина отношения $d/l \ll 1$, то есть с достаточной степенью точности
$\alpha_{max} \approx \sin \alpha_{max} \approx tg \: \alpha_{max}=\frac{d}{2l}$.
Ввиду малости угла $\alpha_{max}$ справедливо допущение о том, что движение шарика осуществляется в горизонтальной плоскости.
Покажем, что для определения параметров движения шарика достаточно учитывать только силу, действующую на него со стороне электрического поля конденсатора:
$F_{эл}=q_{0} \frac{U_{0}}{d}$.
По II закону Ньютона уравнение движения шарика имеет вид
$m \bar{a}=F_{эл} + \bar{T}+m \bar{g}$, (1)
где $\bar{T}$ - сила натяжения нити. Учтем, что из-за малости угла а горизонтальная $T_{x}$ и вертикальная $T_{y}$ составляющие силы $\bar{T}$ определяются формулами
$T_{x}T= \sin \alpha \approx T \alpha, T_{y}=T \cos \alpha \approx T$.
Проецируя уравнение (1) на вертикальную ось получаем $T_{y} = mg \approx T$, так как считаем, что движение происходит только в горизонтальной плоскости. Проецируя же уравнение (1) на горизонтальную ось, получаем
$ma_{x}=q_{0} \frac{U_{0}}{d} + T_{x} \approx q_{0} \frac{U_{0}}{d} + T \alpha$.
Или
$\frac{ma_{x}d}{q_{0}U_{0}} = 1 + \frac{mgd}{q_{0}U_{0}} \alpha$. (2)
Так как $\alpha_{max} = d/(2l) \ll 1$, то вторым слагаемым в правой части уравнения движения (2) можно пренебречь.*
С учетом сделанного приближения
$a_{x} = q_{0} \frac{U_{0}}{md}$.
Итак, движение шарика между пластинами равноускоренное, поэтому
$x=\frac{a_{x}t^{2}}{2}=\frac{q_{0}U_{0}t^{2}}{2md}$.
Отсюда находим время одного прохода шарика между п ласти мим
конденсатора (в конце прохода $x=d$):
$t= \sqrt{ \frac{1d}{a_{x}}}= \sqrt{ \frac{2md^{2}}{q_{0}U_{0}}}$.
Таким образом,
$I = \frac{q_{0}}{t} = \sqrt{\frac{q_{0}^{3}U_{0}}{2md^{2}}}$.
