Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3026
2017-04-24 
К концу висящей вертикально пружины, массой которой можно пренебречь, подвешивают груз массой $m$. Затем длину уже растянутой пружины делят на три равные части и в полученных таким образом точках подвешивают еще два груза массой $3m$ и $2m$, считая от точки крепления пружины. Определить длину пружины в этом случае. Коэффициент жесткости пружины равен $k$, а ее длина в недеформированном состоянии равна $l_{0}$.
Решение:
Решение задачи проводим в предположении, что выполняется закон Гука: $\sigma = E \epsilon$, где $\epsilon = \frac{ \Delta l}{l_{0}}$ - относительное удлинение, $E$ - модуль Юнга, $\sigma = \frac{F}{S}$ - напряжение, вызванное о силой $F$, действующей перпендикулярно сечению $S$. После подстановки получаем $\frac{F}{S} = E \frac{ \Delta l}{l_{0}} \Rightarrow F = \frac{ES}{l_{0}} \Delta l$ или $F = k \Delta l$, где $k = \frac{ES}{l_{0}}$ - коэффициент упругости, при малых деформациях не зависящий от $\Delta l$. Когда речь идет о пружине, $k$ называют коэффициентом жесткости. Если $\Delta l$ мало, то сечение пружины можно считать постоянным и, таким образом, коэффициент жесткости обратно пропорционален длине пружины.
Рассмотрим три груза, подвешенных на пружине (рис.). Отметим, что образовалось три пружины, каждая из которых деформирована. В соответствии с нашим допущением деформации эти малы, поэтому длину недеформированных пружин можно принять за $\frac{1}{3} l_{0}$. Следовательно, коэффициент жесткости каждой из пружин равен $3k$. Укажем силы, приложенные к каждому грузу (рис.).
Здесь $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ - модули сил упругости каждой из пружин, $\Delta x_{1}, \Delta x_{2}, \Delta x_{3}$ - их деформации. Записывая условия равновесия грузов на вертикальную ось. получим систему:
$\begin{cases} T_{1} - mg =0, \\ T_{2} - T_{1} - 2mg = 0, T_{3} - T_{2} - 3mg = 0, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} T_{1} = mg, \\ T_{2} = 3mg, T_{3} = 6mg, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3k \Delta x_{1} = mg, \\ 3k \Delta x_{2} = 3mg, 3k \Delta x_{3} = 6mg, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \Delta x_{1} = \frac{mg}{3k}, \\ \Delta x_{2} = \frac{mg}{k}, \Delta x_{3} = \frac{2mg}{k}. \end{cases}$
Полная деформация пружины
$\Delta x = \Delta x_{1} + \Delta x_{2} + \Delta x_{3} = 4mg/3k$.
Длина пружины $l = l_{0} + \Delta x = l_{0} + 4mg/3k$.
К концу висящей вертикально пружины, массой которой можно пренебречь, подвешивают груз массой $m$. Затем длину уже растянутой пружины делят на три равные части и в полученных таким образом точках подвешивают еще два груза массой $3m$ и $2m$, считая от точки крепления пружины. Определить длину пружины в этом случае. Коэффициент жесткости пружины равен $k$, а ее длина в недеформированном состоянии равна $l_{0}$.
Решение:
Решение задачи проводим в предположении, что выполняется закон Гука: $\sigma = E \epsilon$, где $\epsilon = \frac{ \Delta l}{l_{0}}$ - относительное удлинение, $E$ - модуль Юнга, $\sigma = \frac{F}{S}$ - напряжение, вызванное о силой $F$, действующей перпендикулярно сечению $S$. После подстановки получаем $\frac{F}{S} = E \frac{ \Delta l}{l_{0}} \Rightarrow F = \frac{ES}{l_{0}} \Delta l$ или $F = k \Delta l$, где $k = \frac{ES}{l_{0}}$ - коэффициент упругости, при малых деформациях не зависящий от $\Delta l$. Когда речь идет о пружине, $k$ называют коэффициентом жесткости. Если $\Delta l$ мало, то сечение пружины можно считать постоянным и, таким образом, коэффициент жесткости обратно пропорционален длине пружины.
Рассмотрим три груза, подвешенных на пружине (рис.). Отметим, что образовалось три пружины, каждая из которых деформирована. В соответствии с нашим допущением деформации эти малы, поэтому длину недеформированных пружин можно принять за $\frac{1}{3} l_{0}$. Следовательно, коэффициент жесткости каждой из пружин равен $3k$. Укажем силы, приложенные к каждому грузу (рис.).
Здесь $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ - модули сил упругости каждой из пружин, $\Delta x_{1}, \Delta x_{2}, \Delta x_{3}$ - их деформации. Записывая условия равновесия грузов на вертикальную ось. получим систему:
$\begin{cases} T_{1} - mg =0, \\ T_{2} - T_{1} - 2mg = 0, T_{3} - T_{2} - 3mg = 0, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} T_{1} = mg, \\ T_{2} = 3mg, T_{3} = 6mg, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3k \Delta x_{1} = mg, \\ 3k \Delta x_{2} = 3mg, 3k \Delta x_{3} = 6mg, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \Delta x_{1} = \frac{mg}{3k}, \\ \Delta x_{2} = \frac{mg}{k}, \Delta x_{3} = \frac{2mg}{k}. \end{cases}$
Полная деформация пружины
$\Delta x = \Delta x_{1} + \Delta x_{2} + \Delta x_{3} = 4mg/3k$.
Длина пружины $l = l_{0} + \Delta x = l_{0} + 4mg/3k$.
