Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3024
2017-04-24 
На наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$ неподвижно лежит кубик, причем коэффициент трения между кубиком и плоскостью равен $\mu > tg \alpha$. Наклонная плоскость движется с ускорением $\vec{a}$ в направлении, указанном стрелкой. При каком минимальном значении этого ускорения кубик начнет соскальзывать?
Решение:
Отметим, что при $a = 0$ условие $\mu > tg \alpha$ означает, что кубик на наклонной плоскости покоится (см. задачу 3019).
Предположим, что кубик относительно плоскости не скользит. Его ускорение относительно Земли равно $\vec{a}$. К кубику приложены: сила тяжести $m \vec{g}$, сила реакции опоры $\vec{N}$ и сила трения покоя $\vec{F}_{тр}$, модуль которой $F_{тр} < \mu N$. Проекции ускорения $\vec{a}$ на оси X и Y равны $a_{x} = a \cos \alpha$ и $a_{y} = - a \sin \alpha$. По второму закону Ньютона получаем систему уравнений.
$\begin{cases} F_{тр} -mg \sin \alpha = ma_{x}, \\ N - mg \cos \alpha = ma_{y}, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} F_{тр} - mg \sin \alpha = ma \cos \alpha, \\ N - mg \cos \alpha = - ma \sin \alpha, \end{cases} \Rightarrow F_{тр} = mg \sin \alpha + ma \cos \alpha$ и $N = mg \cos \alpha - ma \sin \alpha$.
Так как $F_{тр} < \mu N$, то
$mg \sin \alpha sina + ma \cos \alpha < \mu (mg \cos \alpha - ma \sin \alpha) \Rightarrow a( \cos \alpha + \mu \sin \alpha ) < g ( \mu \cos \alpha - \sin \alpha) \Rightarrow a < g \frac{ \mu \cos \alpha - \sin \alpha]}{ \cos \alpha + \mu \sin \alpha}$.
Разделив числитель и знаменатель на $\cos \alpha$, получим $a < g \frac{ \mu - tg \alpha}{ 1 + \mu tg \alpha}$. Следовательно, кубик будет соскальзывать с плоскости при $a \geq g \frac{ \mu - tg \alpha}{1 + \mu tg \alpha}$. Минимальное значение ускорения, при котором начинается соскальзывание $a = g \frac{ \mu - tg \alpha}{1 + \mu tg \alpha}$. Если $\mu \leq tg \alpha$, как было показано в задаче 3019, кубик будет соскальзывать с плоскости даже при $a = 0$.
На наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$ неподвижно лежит кубик, причем коэффициент трения между кубиком и плоскостью равен $\mu > tg \alpha$. Наклонная плоскость движется с ускорением $\vec{a}$ в направлении, указанном стрелкой. При каком минимальном значении этого ускорения кубик начнет соскальзывать?
Решение:
Отметим, что при $a = 0$ условие $\mu > tg \alpha$ означает, что кубик на наклонной плоскости покоится (см. задачу 3019).
Предположим, что кубик относительно плоскости не скользит. Его ускорение относительно Земли равно $\vec{a}$. К кубику приложены: сила тяжести $m \vec{g}$, сила реакции опоры $\vec{N}$ и сила трения покоя $\vec{F}_{тр}$, модуль которой $F_{тр} < \mu N$. Проекции ускорения $\vec{a}$ на оси X и Y равны $a_{x} = a \cos \alpha$ и $a_{y} = - a \sin \alpha$. По второму закону Ньютона получаем систему уравнений.
$\begin{cases} F_{тр} -mg \sin \alpha = ma_{x}, \\ N - mg \cos \alpha = ma_{y}, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} F_{тр} - mg \sin \alpha = ma \cos \alpha, \\ N - mg \cos \alpha = - ma \sin \alpha, \end{cases} \Rightarrow F_{тр} = mg \sin \alpha + ma \cos \alpha$ и $N = mg \cos \alpha - ma \sin \alpha$.
Так как $F_{тр} < \mu N$, то
$mg \sin \alpha sina + ma \cos \alpha < \mu (mg \cos \alpha - ma \sin \alpha) \Rightarrow a( \cos \alpha + \mu \sin \alpha ) < g ( \mu \cos \alpha - \sin \alpha) \Rightarrow a < g \frac{ \mu \cos \alpha - \sin \alpha]}{ \cos \alpha + \mu \sin \alpha}$.
Разделив числитель и знаменатель на $\cos \alpha$, получим $a < g \frac{ \mu - tg \alpha}{ 1 + \mu tg \alpha}$. Следовательно, кубик будет соскальзывать с плоскости при $a \geq g \frac{ \mu - tg \alpha}{1 + \mu tg \alpha}$. Минимальное значение ускорения, при котором начинается соскальзывание $a = g \frac{ \mu - tg \alpha}{1 + \mu tg \alpha}$. Если $\mu \leq tg \alpha$, как было показано в задаче 3019, кубик будет соскальзывать с плоскости даже при $a = 0$.
