Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3013
2017-04-24 
Дан график зависимости скорости тела от времени. Движение прямолинейное (рис.). Построить графики зависимости ускорения, координаты и пройденного пути от времени. Начальная координата тела равна 0.
Решение:
При $t \in [0, t_{1}]$ скорость изменяется по линейному закону $v(t) = v_{0} + a_{1}t$, где $v_{0} = 0$ и $a_{1} = tg \alpha_{1} = const > 0$.
Следовательно, движение является равнопеременным. При $t \in [t_{1}; t_{2}] v_{1} = const$ (равномерное движение) и $a_{2} = 0$. При $t \in [t_{2} ; t_{4}]$ зависимость скорости от времени линейная. Если за начало отсчета времени принять момент времени $t_{2}$, то эта зависимость может быть представлена в виде $v(t) = v_{1} + a_{3}t$, где $a_{3} = tg \alpha_{3} = const < 0$ (так как $\alpha_{2} > \pi /2$). Зависимость $a(t)$ представлена на рис.. Построим график зависимости $x(t)$. При $t \in [0; t_{1} ] x(t) = x_{0} + v_{0} t + a_{1} t^{2}/2 = a_{1}t^{2}/2$ - парабола. При $t \in [t_{1}; t_{2}] x(t) = x_{1} + v_{1}t$ (время отсчитывается от $t_{1}$) - прямая линия.
При $t \in [t_{2}; t_{4}] x(t)= x_{2} + v_{1}t + a_{3}t^{2}/2$ (время отсчитывается от $t_{2}$) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как $a_{3} < 0$ (рис.).
По условию задачи $v(t)$ - непрерывная функция во всех точках, включая $t_{1}$ и $t_{2}$. Так как $v = x^{ \prime}(t)$, то функция $x(t)$ должна иметь производную в точках $t_{1}$ и $t_{2}$, поэтому прямая $x(t) = x_{1} + x_{1}t$ является касательной к параболам в точках $t_{1}$ и $t_{2}$. Так как $v = x^{ \prime}$ и $v(t_{3}) = 0$, то в точке $t_{3}$ функция $x(t)$ имеет экстремум (максимум). Зависимость $x(t)$ представлена на рис.
Для построения графика пройденного пути от времени надо учесть, что движение является прямолинейным, и пока тело удаляется от начала координат, $x(t)$ и $S(t)$ совпадают. При $t \in [t_{3}; t_{4}]$ координата уменьшается, но пройденный путь продолжает возрастать, (пройденный путь - неубывающая функция времени). Так как $a_{1} = tg \alpha_{1} < | tg \alpha_{2} | = | a_{2} |$, то парабола на участке $t \in [t_{2};t_{4}]$ проходит более круто, чем на участке $[0; t_{1}]$. Зависимость $S(t)$ представлена на рис.
Дан график зависимости скорости тела от времени. Движение прямолинейное (рис.). Построить графики зависимости ускорения, координаты и пройденного пути от времени. Начальная координата тела равна 0.
Решение:
При $t \in [0, t_{1}]$ скорость изменяется по линейному закону $v(t) = v_{0} + a_{1}t$, где $v_{0} = 0$ и $a_{1} = tg \alpha_{1} = const > 0$.
Следовательно, движение является равнопеременным. При $t \in [t_{1}; t_{2}] v_{1} = const$ (равномерное движение) и $a_{2} = 0$. При $t \in [t_{2} ; t_{4}]$ зависимость скорости от времени линейная. Если за начало отсчета времени принять момент времени $t_{2}$, то эта зависимость может быть представлена в виде $v(t) = v_{1} + a_{3}t$, где $a_{3} = tg \alpha_{3} = const < 0$ (так как $\alpha_{2} > \pi /2$). Зависимость $a(t)$ представлена на рис.. Построим график зависимости $x(t)$. При $t \in [0; t_{1} ] x(t) = x_{0} + v_{0} t + a_{1} t^{2}/2 = a_{1}t^{2}/2$ - парабола. При $t \in [t_{1}; t_{2}] x(t) = x_{1} + v_{1}t$ (время отсчитывается от $t_{1}$) - прямая линия.
При $t \in [t_{2}; t_{4}] x(t)= x_{2} + v_{1}t + a_{3}t^{2}/2$ (время отсчитывается от $t_{2}$) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как $a_{3} < 0$ (рис.).
По условию задачи $v(t)$ - непрерывная функция во всех точках, включая $t_{1}$ и $t_{2}$. Так как $v = x^{ \prime}(t)$, то функция $x(t)$ должна иметь производную в точках $t_{1}$ и $t_{2}$, поэтому прямая $x(t) = x_{1} + x_{1}t$ является касательной к параболам в точках $t_{1}$ и $t_{2}$. Так как $v = x^{ \prime}$ и $v(t_{3}) = 0$, то в точке $t_{3}$ функция $x(t)$ имеет экстремум (максимум). Зависимость $x(t)$ представлена на рис.
Для построения графика пройденного пути от времени надо учесть, что движение является прямолинейным, и пока тело удаляется от начала координат, $x(t)$ и $S(t)$ совпадают. При $t \in [t_{3}; t_{4}]$ координата уменьшается, но пройденный путь продолжает возрастать, (пройденный путь - неубывающая функция времени). Так как $a_{1} = tg \alpha_{1} < | tg \alpha_{2} | = | a_{2} |$, то парабола на участке $t \in [t_{2};t_{4}]$ проходит более круто, чем на участке $[0; t_{1}]$. Зависимость $S(t)$ представлена на рис.
