Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3006
2017-04-24 
Тело начинает двигаться из точки О без начальной скорости по прямой с постоянным ускорением $a$. Через промежуток времени $\tau$ после начала движения тело оказывается в точке В, причем в ней происходит изменение направления ускорения на противоположное, а его модуль возрастает вдвое. Через какое время после начала движения тело окажется в точке С, лежащей по другую сторону от начальной точки движения О, такой, что ОВ = ОС?
Решение:
Сделаем чертеж, иллюстрирующий условие задачи (рис.).
Направим координатную ось X вдоль прямой, по которой движется тело, как показано на рис.. Ее начало поместим в точку О, следовательно начальная координата $x_{0} = 0$. Запишем законы движения на участке ОВ. Так как проекция ускорения $a_{x} = a$ и $v_{0} = 0$, то $v(t) = at, x(t) = at^{2}/2$. В момент времени $t = \tau$ тело окажется в точке В, его скорость $v_{B} = a \tau$, а его координата $x_{B} = a \tau^{2}/2$. Несмотря на то, что в точке В ускорение изменяет направление, тело еще некоторое время продолжит свое движение в прежнем направлении, двигаясь равнозамедленно. После того, как скорость тела обратится в 0, оно начнет двигаться в обратном направлении.
В точке В естественно начать новый отсчет времени. Проекция ускорения $a_{x} = - 2a$, начальная координата - $x_{B}$, начальная скорость - $v_{B}$. Закон движения тела
$x(t) = x_{B} + v_{B} t + a_{x}t^{2}/2 = a \tau^{2}/2 + a \tau t - 2at^{2}/2 = a \tau^{2}/2 + a \tau t - at^{2}$ (*).
Когда тело окажется в точке С, его координата $x_{C} = - x_{B} = - a \tau^{2}/2$. Формула (*) выражает координату тела в любой момент времени при движении с ускорением $a_{x} = - 2a$, в том числе и координату точки С. Поэтому можно составить уравнение $a \tau^{2}/2 + a \tau t - at^{2} = - a \tau^{2}/2$, где $t$ - время движения на участке от В к С. Перенося все члены в одну часть и сокращая на $a \neq 0$, получаем квадратное уравнение относительно $t: t^{2} - \tau t - \tau^{2} = 0$. Его дискриминант $D = \tau^{2} - 4 ( - \tau^{2}) = 5 \tau^{2}$, а его корни
$t_{1,2} = ( \tau \pm \tau \sqrt{5})/2 = \tau (1 \pm \sqrt{5})/2$. Здесь $t_{2} < 0$, что не удовлетворяет условию задачи. Значит, $t = t_{1} = \tau (1 + \sqrt{5}) / 2$.
Тело окажется в точке С через время $t_{1} + \tau = \tau (1 + \sqrt{5})/2 + \tau = \tau(3 + \sqrt{5})/2 \approx 2,6 \tau$ после начала движения.
Тело начинает двигаться из точки О без начальной скорости по прямой с постоянным ускорением $a$. Через промежуток времени $\tau$ после начала движения тело оказывается в точке В, причем в ней происходит изменение направления ускорения на противоположное, а его модуль возрастает вдвое. Через какое время после начала движения тело окажется в точке С, лежащей по другую сторону от начальной точки движения О, такой, что ОВ = ОС?
Решение:
Сделаем чертеж, иллюстрирующий условие задачи (рис.).
Направим координатную ось X вдоль прямой, по которой движется тело, как показано на рис.. Ее начало поместим в точку О, следовательно начальная координата $x_{0} = 0$. Запишем законы движения на участке ОВ. Так как проекция ускорения $a_{x} = a$ и $v_{0} = 0$, то $v(t) = at, x(t) = at^{2}/2$. В момент времени $t = \tau$ тело окажется в точке В, его скорость $v_{B} = a \tau$, а его координата $x_{B} = a \tau^{2}/2$. Несмотря на то, что в точке В ускорение изменяет направление, тело еще некоторое время продолжит свое движение в прежнем направлении, двигаясь равнозамедленно. После того, как скорость тела обратится в 0, оно начнет двигаться в обратном направлении.
В точке В естественно начать новый отсчет времени. Проекция ускорения $a_{x} = - 2a$, начальная координата - $x_{B}$, начальная скорость - $v_{B}$. Закон движения тела
$x(t) = x_{B} + v_{B} t + a_{x}t^{2}/2 = a \tau^{2}/2 + a \tau t - 2at^{2}/2 = a \tau^{2}/2 + a \tau t - at^{2}$ (*).
Когда тело окажется в точке С, его координата $x_{C} = - x_{B} = - a \tau^{2}/2$. Формула (*) выражает координату тела в любой момент времени при движении с ускорением $a_{x} = - 2a$, в том числе и координату точки С. Поэтому можно составить уравнение $a \tau^{2}/2 + a \tau t - at^{2} = - a \tau^{2}/2$, где $t$ - время движения на участке от В к С. Перенося все члены в одну часть и сокращая на $a \neq 0$, получаем квадратное уравнение относительно $t: t^{2} - \tau t - \tau^{2} = 0$. Его дискриминант $D = \tau^{2} - 4 ( - \tau^{2}) = 5 \tau^{2}$, а его корни
$t_{1,2} = ( \tau \pm \tau \sqrt{5})/2 = \tau (1 \pm \sqrt{5})/2$. Здесь $t_{2} < 0$, что не удовлетворяет условию задачи. Значит, $t = t_{1} = \tau (1 + \sqrt{5}) / 2$.
Тело окажется в точке С через время $t_{1} + \tau = \tau (1 + \sqrt{5})/2 + \tau = \tau(3 + \sqrt{5})/2 \approx 2,6 \tau$ после начала движения.
