Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3002
2017-04-24 
Материальная точка совершает два последовательных перемещения. Вектор первого перемещения направлен под углом $\alpha_{1} = 30^{ \circ}$ к оси ОХ, причем на этом участке точка движется прямолинейно и равномерно со скоростью $v_{1} = 10 м/с$. Вектор второго перемещения направлен под углом $\alpha_{2} = 90^{ \circ}$ к оси ОХ н его модуль вдвое больше модуля первого перемещения. Движение на втором участке прямолинейное равномерное со скоростью $v_{2} = 20 м/с$. Найти среднюю скорость перемещения и среднюю скорость на всем пути.
Решение:
На рис. изображено движение точки. $\vec{AC}$ - первое перемещение, $\vec{CB}$ — второе перемещение. Вектор полного перемещения $\Delta \vec{r} = \vec{AB}$. Найдем его модуль $\angle ACB = \beta$ - внешний угол $\Delta A_{1}C_{1}C$, поэтому он равен сумме двух внутренних, с ним несмежных. Итак, \$beta = \alpha_{1} + \alpha_{2} = 120^{ \circ}$. Пусть модуль первого перемещения $AC = S$, тогда модуль второго перемещения $BC = 2S$. Из $\Delta ACB$ по теореме косинусов
$\Delta r = AB = \sqrt{ AC^{2} + BC^{2} - 2AC \cdot BC \cdot \cos \beta} = \sqrt{ S^{2} + (2S)^{2} - 2 \cdot S \cdot 2S \cdot \cos 120^{ \circ}} = \sqrt{S^{2} + 4S^{2} - 4S^{2} \cdot ( - 0,5)} = S \sqrt{7}$.
Так как движение на участке АС равномерное, то время, за которое совершено перемещение $\vec{AC}$, равно $t_{1} = S/v_{1}$. Время, за которое совершено перемещение $\vec{CB}$, равно $t_{2} = 2S / v_{2}$. Полное время движения
$t = t_{1} + t_{2} = S/v_{1} + 2S/v_{2} = S(2v_{1} + v_{2})/v_{1} v_{2}$.
По определению средняя скорость перемещения $\vec{v}_{ср} = \Delta \vec{r} / t$, а се модуль
$v_{ср} = \frac{ \Delta r}{t} = \frac{S \sqrt{7}}{ \left ( \frac{S(2v_{1} + v_{2})}{v_{1}v_{2}} \right )} = \frac{ \sqrt{7} v_{1}v_{2}}{2v_{1}v_{2}} = 13,2 м/с$.
Найдем направление вектора $\vec{v}_{ср}$. Он образует угол $\gamma$ с вектором $\vec{AC}$. Из $\Delta ABC$ по теореме синусов
$2S/ \sin \gamma = \Delta r/ \sin \beta \Rightarrow \sin \gamma = 2S \sin \beta / \Delta r = (2S / S \sqrt{7}) \sin 120^{ \circ} = \frac{2}{ \sqrt{7}} \frac{ \sqrt{3}}{2} = \sqrt{ \frac{3}{7}} \Rightarrow \gamma arcsin \sqrt{3/7} = 25,4^{ \circ}$.
Угол, который образует вектор средней скорости с осью ОХ, равен $\gamma + \alpha_{1} = 55,4^{ \circ}$.
Средняя скорость $v$ на всем пути есть весь пройденный путь, отнесенный к полнолгу времени движения, поэтому
$v = \frac{S+2S}{t} = \frac{3S}{t} = \frac{3S}{ \left ( \frac{S(2v_{1} + v_{2})}{v_{1}v_{2}} \right )} = \frac{3v_{1}v_{2}}{2v_{1} +v_{2}} = 15 м/с$.
Материальная точка совершает два последовательных перемещения. Вектор первого перемещения направлен под углом $\alpha_{1} = 30^{ \circ}$ к оси ОХ, причем на этом участке точка движется прямолинейно и равномерно со скоростью $v_{1} = 10 м/с$. Вектор второго перемещения направлен под углом $\alpha_{2} = 90^{ \circ}$ к оси ОХ н его модуль вдвое больше модуля первого перемещения. Движение на втором участке прямолинейное равномерное со скоростью $v_{2} = 20 м/с$. Найти среднюю скорость перемещения и среднюю скорость на всем пути.
Решение:
На рис. изображено движение точки. $\vec{AC}$ - первое перемещение, $\vec{CB}$ — второе перемещение. Вектор полного перемещения $\Delta \vec{r} = \vec{AB}$. Найдем его модуль $\angle ACB = \beta$ - внешний угол $\Delta A_{1}C_{1}C$, поэтому он равен сумме двух внутренних, с ним несмежных. Итак, \$beta = \alpha_{1} + \alpha_{2} = 120^{ \circ}$. Пусть модуль первого перемещения $AC = S$, тогда модуль второго перемещения $BC = 2S$. Из $\Delta ACB$ по теореме косинусов
$\Delta r = AB = \sqrt{ AC^{2} + BC^{2} - 2AC \cdot BC \cdot \cos \beta} = \sqrt{ S^{2} + (2S)^{2} - 2 \cdot S \cdot 2S \cdot \cos 120^{ \circ}} = \sqrt{S^{2} + 4S^{2} - 4S^{2} \cdot ( - 0,5)} = S \sqrt{7}$.
Так как движение на участке АС равномерное, то время, за которое совершено перемещение $\vec{AC}$, равно $t_{1} = S/v_{1}$. Время, за которое совершено перемещение $\vec{CB}$, равно $t_{2} = 2S / v_{2}$. Полное время движения
$t = t_{1} + t_{2} = S/v_{1} + 2S/v_{2} = S(2v_{1} + v_{2})/v_{1} v_{2}$.
По определению средняя скорость перемещения $\vec{v}_{ср} = \Delta \vec{r} / t$, а се модуль
$v_{ср} = \frac{ \Delta r}{t} = \frac{S \sqrt{7}}{ \left ( \frac{S(2v_{1} + v_{2})}{v_{1}v_{2}} \right )} = \frac{ \sqrt{7} v_{1}v_{2}}{2v_{1}v_{2}} = 13,2 м/с$.
Найдем направление вектора $\vec{v}_{ср}$. Он образует угол $\gamma$ с вектором $\vec{AC}$. Из $\Delta ABC$ по теореме синусов
$2S/ \sin \gamma = \Delta r/ \sin \beta \Rightarrow \sin \gamma = 2S \sin \beta / \Delta r = (2S / S \sqrt{7}) \sin 120^{ \circ} = \frac{2}{ \sqrt{7}} \frac{ \sqrt{3}}{2} = \sqrt{ \frac{3}{7}} \Rightarrow \gamma arcsin \sqrt{3/7} = 25,4^{ \circ}$.
Угол, который образует вектор средней скорости с осью ОХ, равен $\gamma + \alpha_{1} = 55,4^{ \circ}$.
Средняя скорость $v$ на всем пути есть весь пройденный путь, отнесенный к полнолгу времени движения, поэтому
$v = \frac{S+2S}{t} = \frac{3S}{t} = \frac{3S}{ \left ( \frac{S(2v_{1} + v_{2})}{v_{1}v_{2}} \right )} = \frac{3v_{1}v_{2}}{2v_{1} +v_{2}} = 15 м/с$.
