Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2975
2017-04-22 
В схеме, представленной на рис., батарея с постоянной ЭДС $\mathcal{E}$ подключена через резистор к двум проводящим одинаковым пластинам площадью $S$ с малым расстоянием $d$ между ними. Обе пластины положительно заряжены, причем на левой пластине находится заряд $q_{1}$, а на правой — некоторый неизвестный заряд. Правую пластину быстро смещают на расстояние $d$ вправо (заряды пластин за время перемещения не изменяются). 1) Найти заряды пластин после установления равновесия. 2) Какое количество теплоты выделится в цепи после перемещения пластины к моменту установления равновесного состояния? Считать, что до и после смещения пластины заряды (по модулю) проводов, резистора и источника пренебрежимо малы.
Решение:
Заряд правой пластины $q_{2}$ до ее перемещения найдем из условия, что разность потенциалов между пластинами равна $\mathcal{E}$:
$\left ( \frac{q_{2}}{2 \epsilon_{0} } - \frac{q_{1}}{2 \epsilon_{0} S} \right ) d = \mathcal{E}$. (1)
Отсюда $q_{2}^{ \prime} = q_{1} + \frac{2 \epsilon_{0} S \mathcal{E}}{d}$.
Заряд $q$, протекший через батарею слева направо после перемещения пластины и установления равновесия, найдем тоже из условия, что напряжение между пластинами равно $\mathcal{E}$:
$\left ( \frac{q_{2} + q_{1}}{2 \epsilon_{0} S} - \frac{q_{1} - q}{2 \epsilon_{0} S} \right ) 2d = \mathcal{E}$.
Отсюда с учетом (1) $q = - \frac{ \epsilon_{0} S \mathcal{E}}{2d}$.
Заряды левой и правой пластин после установления равновесия
$q_{1}^{ \prime} = q_{1} - q = q_{1} + \frac{ \epsilon_{0} S \mathcal{E}}{2d}, q_{1}^{ \prime} = q_{2} + q = q_{1} + \frac{3}{2} \frac{ \epsilon_{0} S \mathcal{E}}{d}$.
Количество теплоты $Q$ найдем, используя закон сохранения энергии:
$A = Q + (W_{2} - W_{1})$. (2)
Здесь $A = q \mathcal{E} = - \frac{ \epsilon_{0} S \mathcal{E}^{2}}{2d}$ —— работа батареи, $W_{2}$ и $W_{1}$ — энергии электрического поля между пластинами после установления равновесия и сразу после перемещения правой пластины. При этом учтено, что энергия поля вне пластин не изменилась, так как напряженность поля вне пластин определяется только суммой зарядов пластин. Найдем $W_{1}$ и $W_{2}$.
После установления равновесия напряженность поля между пластинами $E_{2} = \frac{ \mathcal{E}_{2}}{2d}$, плотность энергии поля $\omega_{2} = \frac{ \epsilon_{0} E_{2}^{2}}{2}$, энергия $W_{2} = \omega_{2} S2d = \frac{ \epsilon_{0} S \mathcal{E}^{2}}{4d}$. Сразу после перемещения правой пластины заряды пластин не изменились и поэтому не изменилась напряженность поля: $E_{1} = \frac{ \mathcal{E}}{d}$. Плотность энергии $\omega_{1} = \frac{ \epsilon_{0} E_{1}^{2}}{2}$, энергия $W_{1} = \omega_{1} S2d = \frac{ \epsilon_{0} S \mathcal{E}^{2}}{d}$.
Подставив в (2) выражения для $A, W_{1}$ и $W_{2}$, находим $Q = \frac{ \epsilon_{0} S \mathcal{E}^{2}}{4d}$.
В схеме, представленной на рис., батарея с постоянной ЭДС $\mathcal{E}$ подключена через резистор к двум проводящим одинаковым пластинам площадью $S$ с малым расстоянием $d$ между ними. Обе пластины положительно заряжены, причем на левой пластине находится заряд $q_{1}$, а на правой — некоторый неизвестный заряд. Правую пластину быстро смещают на расстояние $d$ вправо (заряды пластин за время перемещения не изменяются). 1) Найти заряды пластин после установления равновесия. 2) Какое количество теплоты выделится в цепи после перемещения пластины к моменту установления равновесного состояния? Считать, что до и после смещения пластины заряды (по модулю) проводов, резистора и источника пренебрежимо малы.
Решение:
Заряд правой пластины $q_{2}$ до ее перемещения найдем из условия, что разность потенциалов между пластинами равна $\mathcal{E}$:
$\left ( \frac{q_{2}}{2 \epsilon_{0} } - \frac{q_{1}}{2 \epsilon_{0} S} \right ) d = \mathcal{E}$. (1)
Отсюда $q_{2}^{ \prime} = q_{1} + \frac{2 \epsilon_{0} S \mathcal{E}}{d}$.
Заряд $q$, протекший через батарею слева направо после перемещения пластины и установления равновесия, найдем тоже из условия, что напряжение между пластинами равно $\mathcal{E}$:
$\left ( \frac{q_{2} + q_{1}}{2 \epsilon_{0} S} - \frac{q_{1} - q}{2 \epsilon_{0} S} \right ) 2d = \mathcal{E}$.
Отсюда с учетом (1) $q = - \frac{ \epsilon_{0} S \mathcal{E}}{2d}$.
Заряды левой и правой пластин после установления равновесия
$q_{1}^{ \prime} = q_{1} - q = q_{1} + \frac{ \epsilon_{0} S \mathcal{E}}{2d}, q_{1}^{ \prime} = q_{2} + q = q_{1} + \frac{3}{2} \frac{ \epsilon_{0} S \mathcal{E}}{d}$.
Количество теплоты $Q$ найдем, используя закон сохранения энергии:
$A = Q + (W_{2} - W_{1})$. (2)
Здесь $A = q \mathcal{E} = - \frac{ \epsilon_{0} S \mathcal{E}^{2}}{2d}$ —— работа батареи, $W_{2}$ и $W_{1}$ — энергии электрического поля между пластинами после установления равновесия и сразу после перемещения правой пластины. При этом учтено, что энергия поля вне пластин не изменилась, так как напряженность поля вне пластин определяется только суммой зарядов пластин. Найдем $W_{1}$ и $W_{2}$.
После установления равновесия напряженность поля между пластинами $E_{2} = \frac{ \mathcal{E}_{2}}{2d}$, плотность энергии поля $\omega_{2} = \frac{ \epsilon_{0} E_{2}^{2}}{2}$, энергия $W_{2} = \omega_{2} S2d = \frac{ \epsilon_{0} S \mathcal{E}^{2}}{4d}$. Сразу после перемещения правой пластины заряды пластин не изменились и поэтому не изменилась напряженность поля: $E_{1} = \frac{ \mathcal{E}}{d}$. Плотность энергии $\omega_{1} = \frac{ \epsilon_{0} E_{1}^{2}}{2}$, энергия $W_{1} = \omega_{1} S2d = \frac{ \epsilon_{0} S \mathcal{E}^{2}}{d}$.
Подставив в (2) выражения для $A, W_{1}$ и $W_{2}$, находим $Q = \frac{ \epsilon_{0} S \mathcal{E}^{2}}{4d}$.
